Calcule os limites abaixo, usando a regra de L’Hôpital:
p) \lim _{x \rightarrow 0}\left(\operatorname{cossec} x-\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\left(\operatorname{cossec} x - \frac{1}{x}\right).
Informações dadas/observações imediatas:
  • Aqui interpretamos \operatorname{cossec} x como \csc x, isto é \csc x=\dfrac{1}{\sin x}.
  • Devemos calcular o limite quando x tende a 0.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento das duas parcelas quando x\to 0:
  • \csc x=\dfrac{1}{\sin x} e como \sin x\sim x quando x\to 0, ambas as parcelas divergem do tipo \dfrac{1}{x}. Portanto a expressão é uma indeterminação do tipo \infty-\infty.
    Para usar a regra de L’Hôpital precisamos transformar para uma forma \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}. Para isso colocamos as duas frações sobre um mesmo denominador:
\csc x-\frac{1}{x}=\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}=\frac{x-\sin x}{x\sin x}.
Agora verifiquemos os limites das partes:
  • Numerador: x-\sin x\to 0 quando x\to 0.
  • Denominador: x\sin x\to 0 quando x\to 0.
    Logo temos uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0} e podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Breve “aula” sobre a regra de L’Hôpital (em linguagem simples):
  • Se temos funções f(x) e g(x) que são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto talvez em a) e \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0 ou ambos \pm\infty, e se o limite \lim_{x\to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • Regras de derivação usadas aqui: (\sin x)'=\cos x, (\cos x)'=-\sin x e regra do produto (u v)'=u'v+uv'.

Passo 4

Aplique L’Hôpital à fração \dfrac{x-\sin x}{x\sin x}.
Derivamos numerador e denominador separadamente:
  • Derivada do numerador: (x-\sin x)'=1-\cos x.
  • Derivada do denominador (produto x\cdot\sin x): (usando regra do produto)
(x\sin x)'=\sin x + x\cos x.
Portanto, por L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x\sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\sin x + x\cos x}.
Verifiquemos: ao substituir x=0 obtemos 0/0 novamente, pois 1-\cos 0=0 e \sin 0 + 0\cdot\cos 0=0. Podemos aplicar L’Hôpital de novo.

Passo 5

Aplicando L’Hôpital pela segunda vez, derivamos numerador e denominador da expressão \dfrac{1-\cos x}{\sin x + x\cos x}:
  • Derivada do numerador: (1-\cos x)'=\sin x.
  • Derivada do denominador: derivada de \sin x + x\cos x é
(\sin x)' + (x\cos x)' = \cos x + \big(\cos x - x\sin x\big) = 2\cos x - x\sin x.
Logo, por L’Hôpital novamente,
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\sin x + x\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2\cos x - x\sin x}.

Passo 6

Agora avaliamos o limite por substituição direta (a expressão já não é indeterminada):
  • \sin 0=0,
  • \cos 0=1,
    então o denominador tende a 2\cdot 1 - 0\cdot 0 = 2.
    Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2\cos x - x\sin x}=\frac{0}{2}=0.
Assim a sequência de igualdades nos dá que o limite pedido é 0.

Passo 7

Dica prática para a prova (resumindo a estratégia):
  • Quando aparecer uma diferença do tipo \csc x - 1/x ou similar que dá \infty-\infty, junte em uma única fração para obter \dfrac{0}{0} e então aplique L’Hôpital. Não esqueça de usar a regra do produto corretamente ao diferenciar o denominador.

Resposta

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