Calcule os limites abaixo, usando a regra de L’Hôpital:
p)
p)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas/observações imediatas:
- Aqui interpretamos
como , isto é . - Devemos calcular o limite quando
tende a .
Passo 2
Vamos analisar o comportamento das duas parcelas quando
:
-
e como quando , ambas as parcelas divergem do tipo . Portanto a expressão é uma indeterminação do tipo .
Para usar a regra de L’Hôpital precisamos transformar para uma formaou . Para isso colocamos as duas frações sobre um mesmo denominador:
Agora verifiquemos os limites das partes:
- Numerador:
quando . - Denominador:
quando .
Logo temos uma indeterminação do tipoe podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
Breve “aula” sobre a regra de L’Hôpital (em linguagem simples):
- Se temos funções
e que são diferenciáveis numa vizinhança de (exceto talvez em ) e ou ambos , e se o limite existe (ou é ), então
- Regras de derivação usadas aqui:
, e regra do produto .
Passo 4
Aplique L’Hôpital à fração
.
Derivamos numerador e denominador separadamente:
Derivamos numerador e denominador separadamente:
- Derivada do numerador:
. - Derivada do denominador (produto
): (usando regra do produto)
Portanto, por L’Hôpital,
Verifiquemos: ao substituir
obtemos
novamente, pois
e
. Podemos aplicar L’Hôpital de novo.
Passo 5
Aplicando L’Hôpital pela segunda vez, derivamos numerador e denominador da expressão
:
- Derivada do numerador:
. - Derivada do denominador: derivada de
é
Logo, por L’Hôpital novamente,
Passo 6
Agora avaliamos o limite por substituição direta (a expressão já não é indeterminada):
-
, -
,
então o denominador tende a.
Portanto
Assim a sequência de igualdades nos dá que o limite pedido é
.
Passo 7
Dica prática para a prova (resumindo a estratégia):
- Quando aparecer uma diferença do tipo
ou similar que dá , junte em uma única fração para obter e então aplique L’Hôpital. Não esqueça de usar a regra do produto corretamente ao diferenciar o denominador.