Calcule os limites abaixo, usando a regra de L’Hôpital:
l)
l)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é o produto de
e . - Quando
temos , portanto . - Logo, cada fator tende a:
e . Isso dá a forma indeterminada . - O problema é encontrar o valor numérico desse limite (se existir).
Passo 2
Transformar a indeterminação em uma forma adequada para aplicar uma regra de limites. Uma técnica padrão é reescrever o produto como quociente: dividir por
. Escrevemos
Agora ao fazermos
temos numerador
e denominador
, ou seja a forma é
, que é uma indeterminação do tipo apropriado para usar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
Explicar a regra de L’Hôpital (em linguagem simples): se temos
com
e
diferenciáveis em torno de
(exceto talvez em
) e se
e
(ou ambos
), então, quando o limite das derivadas existe ou é
,
Intuição curta: para valores muito próximos de
, as funções se comportam aproximadamente como suas retas tangentes, e o quociente das funções se aproxima do quociente das derivadas. É preciso verificar que a hipótese
(ou
) vale e que
são diferenciáveis onde necessário.
Passo 4
Verificar condições para aplicar L’Hôpital ao quociente da Passo 2:
- Numerador:
quando . - Denominador:
quando . - Ambas as funções são diferenciáveis para
(e estamos levando para , longe de ).
Portanto temos a formae as hipóteses de diferenciabilidade locais estão satisfeitas — podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 5
Calcular as derivadas do numerador e do denominador. Primeiro, seja
. Então
.
Derivada do numerador usando a regra da cadeia:
Derivada do numerador
Derivada do denominador
:
Passo 6
Aplicar L’Hôpital: o limite original é igual ao limite das derivadas (quando existir):
Simplificando os sinais e o fator
que aparece em numerador e denominador:
Passo 7
Avaliar o limite simplificado. Quando
temos
, e
é contínua, logo
Passo 8
Interpretação final e dica rápida para prova: sempre que aparecer uma expressão do tipo
, tente reescrever como quociente (por exemplo
ou
) para obter
ou
e aplicar L’Hôpital. Calcule as derivadas com calma (regra da cadeia quando necessário) e simplifique antes de avaliar o limite.