Calcule os limites abaixo, usando a regra de L’Hôpital:
l) \lim _{x \rightarrow+\infty} x \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty} x\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é o produto de \;x\; e \;\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right).
  • Quando x\to+\infty temos \frac{\pi}{x}\to 0, portanto \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\to 0.
  • Logo, cada fator tende a: x\to+\infty e \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\to 0. Isso dá a forma indeterminada \infty\cdot 0.
  • O problema é encontrar o valor numérico desse limite (se existir).

Passo 2

Transformar a indeterminação em uma forma adequada para aplicar uma regra de limites. Uma técnica padrão é reescrever o produto como quociente: dividir por \frac{1}{x}. Escrevemos
x\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right) = \frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)}{\frac{1}{x}}.
Agora ao fazermos x\to+\infty temos numerador \to 0 e denominador \to 0, ou seja a forma é \frac{0}{0}, que é uma indeterminação do tipo apropriado para usar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Explicar a regra de L’Hôpital (em linguagem simples): se temos
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}
com f e g diferenciáveis em torno de a (exceto talvez em a) e se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), então, quando o limite das derivadas existe ou é \pm\infty,
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Intuição curta: para valores muito próximos de a, as funções se comportam aproximadamente como suas retas tangentes, e o quociente das funções se aproxima do quociente das derivadas. É preciso verificar que a hipótese \frac{0}{0} (ou \frac{\infty}{\infty}) vale e que f,g são diferenciáveis onde necessário.

Passo 4

Verificar condições para aplicar L’Hôpital ao quociente da Passo 2:
  • Numerador: \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\to 0 quando x\to+\infty.
  • Denominador: \frac{1}{x}\to 0 quando x\to+\infty.
  • Ambas as funções são diferenciáveis para x\neq 0 (e estamos levando x para +\infty, longe de 0).
    Portanto temos a forma \frac{0}{0} e as hipóteses de diferenciabilidade locais estão satisfeitas — podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 5

Calcular as derivadas do numerador e do denominador. Primeiro, seja u(x)=\frac{\pi}{x}. Então u'(x) = -\frac{\pi}{x^{2}}.
Derivada do numerador f(x)=\operatorname{sen}\!\big(u(x)\big) usando a regra da cadeia:
f'(x)=\cos\!\big(u(x)\big)\cdot u'(x) = \cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\cdot\left(-\frac{\pi}{x^{2}}\right) = -\frac{\pi}{x^{2}}\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right).
Derivada do denominador g(x)=\frac{1}{x}:
g'(x)=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 6

Aplicar L’Hôpital: o limite original é igual ao limite das derivadas (quando existir):
\lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to+\infty}\frac{-\frac{\pi}{x^{2}}\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)}{-\frac{1}{x^{2}}}.
Simplificando os sinais e o fator \frac{1}{x^{2}} que aparece em numerador e denominador:
\frac{-\frac{\pi}{x^{2}}\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)}{-\frac{1}{x^{2}}} = \pi\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right).

Passo 7

Avaliar o limite simplificado. Quando x\to+\infty temos \frac{\pi}{x}\to 0, e \cos é contínua, logo
\lim_{x\to+\infty}\pi\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right) = \pi\cos(0) = \pi\cdot 1 = \pi.

Passo 8

Interpretação final e dica rápida para prova: sempre que aparecer uma expressão do tipo \infty\cdot 0, tente reescrever como quociente (por exemplo \frac{f}{1/g} ou \frac{g}{1/f}) para obter \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty} e aplicar L’Hôpital. Calcule as derivadas com calma (regra da cadeia quando necessário) e simplifique antes de avaliar o limite.

Resposta

\pi

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