Calcule os limites abaixo, usando a Regra de L’Hospital.
(2017-1) \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{2}+x-2}{\operatorname{sen}^{2}(x-1)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1^{+}}\frac{x^{2}+x-2}{\sin^{2}(x-1)}
usando a Regra de L’Hospital. Como estamos diante de uma indeterminação do tipo 0/0, vamos verificar isso e depois derivar numerador e denominador.

Passo 2

Avaliaremos numerador e denominador em x=1:
x^{2}+x-2\Big|_{x=1}=1+1-2=0, \qquad \sin^{2}(x-1)\Big|_{x=1}=\sin^{2}(0)=0.
Logo é 0/0, então podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador em relação a x:
derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+x-2\bigr)=2x+1.
derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\sin^{2}(x-1) =2\sin(x-1)\cos(x-1) =\sin\bigl(2(x-1)\bigr).
Pela Regra de L’Hospital, o limite vira
\lim_{x\to1^{+}}\frac{2x+1}{\sin\bigl(2(x-1)\bigr)}.

Passo 4

Agora, ao fazer x\to1^{+}, o numerador tende a
2\cdot1+1=3
e o denominador tende a
\sin\bigl(2\cdot0^{+}\bigr)=\sin(0^{+})=0^{+}.
Portanto o quociente cresce sem limite, ou seja, diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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