Calcule os limites abaixo, usando a Regra de L’Hospital.
(2010-1) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\operatorname{sen} x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado nos pede calcular \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^3} usando a regra de L’Hôpital. Esse tipo de limite gera uma forma indeterminada 0/0, então vamos derivar numerador e denominador sucessivas vezes até eliminá-la.

Passo 2

Ao substituir x=0 no quociente original obtemos \frac{0-0}{0^3}=\frac{0}{0}, uma indeterminação do tipo 0/0. Aplico a regra de L’Hôpital derivando uma vez o numerador e o denominador:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^3} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{d}{dx}(x-\sin x)}{\frac{d}{dx}(x^3)} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{3x^2}.

Passo 3

No novo quociente, substituir x=0 ainda dá \frac{0}{0}, então aplico a regra de L’Hôpital uma segunda vez:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{3x^2} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{d}{dx}(1-\cos x)}{\frac{d}{dx}(3x^2)} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{6x}.

Passo 4

Para calcular \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{6x}, lembro que \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1. Logo:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{6x} =\frac{1}{6}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} =\frac{1}{6}\cdot 1 =\frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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