Calcule os limites abaixo, usando a Regra de L’Hospital.
(2015-1) \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x e^{1 / x}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\bigl(xe^{1/x}-x\bigr)
usando a Regra de L’Hospital.
O conteúdo principal é identificar uma forma indeterminada e reescrever o limite de modo a aplicar l’Hospital.

Passo 2

Observe que
xe^{1/x}-x = x\bigl(e^{1/x}-1\bigr).
Para usar l’Hospital, escrevemos isso como quociente:
x\bigl(e^{1/x}-1\bigr) = \frac{e^{1/x}-1}{1/x}.
Quando x\to+\infty, temos e^{1/x}-1\to0 e 1/x\to0. Então é uma forma 0/0.

Passo 3

Aplicando a Regra de l’Hospital, diferenciamos numerador e denominador em relação a x:
numerador: \frac{d}{dx}\bigl(e^{1/x}-1\bigr)=e^{1/x}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(1/x\bigr) =e^{1/x}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{x^2}\bigr),
denominador: \frac{d}{dx}\bigl(1/x\bigr)=-\tfrac{1}{x^2}.

Passo 4

O limite passa a ser
\lim_{x\to+\infty} \frac{e^{1/x}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{x^2}\bigr)}{-\tfrac{1}{x^2}} =\lim_{x\to+\infty}e^{1/x}.
Como 1/x\to0 quando x\to+\infty, temos e^{1/x}\to e^0=1.

Resposta

1

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