Calcule os limites abaixo, usando a Regra de L’Hospital.
(2016-2) \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(e^{x}+x^{2}\right)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to+\infty}\bigl(e^x + x^2\bigr)^{1/x}
que é uma forma indeterminada do tipo 1^\infty. Para resolver, vamos usar a ideia de aplicar logaritmo e depois a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Denotemos
L = \lim_{x\to+\infty}\bigl(e^x + x^2\bigr)^{1/x}.
Tomando logaritmo, obtemos
\ln L = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\bigl(e^x + x^2\bigr)}{x},
que é uma indeterminação \tfrac{\infty}{\infty}.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hospital ao quociente em \ln L:
\ln L = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\bigl(e^x + x^2\bigr)}{x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{d}{dx}\ln\bigl(e^x + x^2\bigr)}{\frac{d}{dx}x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\displaystyle\frac{e^x + 2x}{\,e^x + x^2\,}}{1} = \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x + 2x}{e^x + x^2}.

Passo 4

Para x\to+\infty, o termo e^x domina em cima e em baixo, logo
\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x + 2x}{e^x + x^2} = 1.
Assim, \ln L = 1.

Passo 5

Exponenciando, vem
L = e^{\ln L} = e^1 = e.

Resposta

e

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