Calcule os limites abaixo usando as regras de LHospital:
lim x +infty(1+x)^1ln (x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto+infty(1+x)^1/ln(x). O conteúdo aqui envolve limites de forma indeterminada, e vamos precisar da técnica de mudança para exponencial e, em seguida, da regra de L’Hôpital.

Passo 2

Para lidar com a potência, a gente faz a clássica reescrita via exponencial. Definimos
L = limxto+infty(1+x)^1/ln(x)
e escrevemos
L = expl(limxto+infty ln(1+x)ln(x)r)

Passo 3

Agora o problema vira achar o limite
limxto+inftyln(1+x)ln(x)

Passo 4

que é uma forma tfracinftyinfty. Vamos aplicar L’Hôpital: derivando numerador e denominador, obtemos
ddx[ln(1+x)] = 11+x, ddx[ln(x)] = 1x

Passo 5

Portanto, pela regra de L’Hôpital,
limxto+inftyln(1+x)ln(x) = limxto+infty1/(1+x)1/x = limxto+inftyx1+x = 1

Passo 6

Como o expoente tende a 1, voltamos ao L e concluímos
L = exp(1) = e

Resposta

e

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