Resolva e justifique os seguintes itens
Inverta a ordem de integração,integrando primeiro em" y"e depois em" x"para calcular a integral
integral0^1 integralraizy^1 sen(x^3) d x d y

Passo 1

Temos a integral original
integral0^1 integralraizy^1 sin(x^3),dx,dy
O conteúdo é integração dupla e vamos usar o Teorema de Fubini para inverter a ordem de integração e calcular o valor.

Passo 2

A região de integração é
D = (x,y):0<= y<= 1,;raizy<= x<= 1
Para inverter, resolvemos raizy<= x em função de y: isso dá y<= x^2. Como y>=0 e x<=1, concluímos
0<= x<=1, 0<= y<= x^2

Passo 3

Escrevemos então a integral com ordem trocada
integral0^1 integral0^x^2 sin(x^3),dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em y, lembrando que sin(x^3) é constante em relação a y:
integral0^x^2 sin(x^3),dy = sin(x^3) cdot l[yr]0^x^2 = x^2sin(x^3)

Passo 5

Fica então
integral0^1 x^2sin(x^3),dx
Usamos a substituição u = x^3, du = 3x^2dx (logo x^2dx = du/3) e os limites mudam de x=0to u=0 e x=1to u=1:
integral0^1 x^2sin(x^3),dx = integral0^1 sin(u)du3 = tfrac13l[-cos(u)r]0^1 = tfrac13l(1-cos(1)r)

Resposta

1-cos(1)3

Exercícios relacionados