Resolva e justifique os seguintes itens
Calcule a área limitada pelas curvas x=y^2-1 e x=2 y^2-2

Passo 1

Temos duas curvas: x = y^2 - 1 e x = 2y^2 - 2. O conteúdo envolvido é cálculo de área entre curvas usando integração em relação a y. Para resolver, precisamos encontrar os pontos de interseção e aplicar a fórmula de área A = integral (xdireita - xesquerda),dy.

Passo 2

Encontrar a interseção das curvas. Resolvendo y^2 - 1 = 2y^2 - 2, temos:
y^2 - 1 = 2y^2 - 2 implies -y^2 +1 =0 implies y^2 =1 implies y = pm1
Então a região está para y entre -1 e 1.

Passo 3

Determinar qual curva é a fronteira esquerda e direita. Escolhendo y=0, vemos que:
x1 = 0^2 -1 = -1, x2 = 2cdot0^2 -2 = -2,
ou seja, x2 < x1. Logo, xesquerda = 2y^2 - 2 e xdireita = y^2 -1. Montamos a integral:
A = integral-1^1 l[(y^2 -1) - (2y^2 -2)r],dy

Passo 4

Simplificar o integrando e calcular a integral:
(y^2 -1) - (2y^2 -2) = -y^2 +1,
A = integral-1^1 (-y^2 +1),dy
Como -y^2 e 1 são funções pares, podemos integrar diretamente:
integral-1^1 (-y^2 +1),dy = [-tfracy^33 + y]-1^1 = l(-tfrac13 +1r) - l(tfrac13 -1r) = tfrac23 + tfrac23 = tfrac43

Resposta

tfrac43

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