Calcule os limites abaixo usando o teorema de continuidade de funções compostas:
\lim _{x \rightarrow \pi} \tan (\operatorname{sen} x+\cos x)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos pede e as informações dadas.
  • Problema: Calcular o limite
\lim_{x\to\pi} \tan\big(\operatorname{sen} x+\cos x\big).
  • O que é pedido: encontrar o valor desse limite quando x se aproxima de \pi.
  • Informação disponível no enunciado: a expressão é a tangente de uma soma \operatorname{sen} x+\cos x; nada mais é dado.

Passo 2

Lembrete do teorema que vamos usar (teoria necessária, explicada passo a passo).
  • Teorema de continuidade de funções compostas (forma prática para limites): se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então
\lim_{x\to a} f\big(g(x)\big)=f\big(\lim_{x\to a} g(x)\big)=f\big(g(a)\big).
  • O que significa “contínua” aqui, de maneira simples: uma função h é contínua em c se ao aproximar x de c, h(x) se aproxima de h\text{(c)}; na prática, para funções elementares conhecidas (como \operatorname{sen}, \cos, soma, produto) podemos substituir diretamente x=c para obter o limite.
  • Precisamos, portanto:
    1. calcular \displaystyle \lim_{x\to\pi} \big(\operatorname{sen} x+\cos x\big);
    2. verificar que \tan é contínua no valor obtido (ou seja, que a tangente está definida nesse ponto).

Passo 3

Calcular o limite interno \displaystyle \lim_{x\to\pi} \big(\operatorname{sen} x+\cos x\big).
  • As funções \operatorname{sen} x e \cos x são contínuas em todo \mathbb{R}, então podemos substituir x=\pi diretamente:
\lim_{x\to\pi} \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\pi = 0, \qquad \lim_{x\to\pi} \cos x = \cos\pi = -1.
  • Somando os resultados:
\lim_{x\to\pi} \big(\operatorname{sen} x+\cos x\big)=0+(-1)=-1.

Passo 4

Verificar que \tan é contínua no ponto onde será avaliada, isto é, em -1.
  • A função \tan y está definida (e é contínua) para todo y que não seja da forma \dfrac{(2k+1)\pi}{2} com k\in\mathbb{Z}, pois nesses pontos \cos y=0 e \tan tem assimptotas.
  • Mostrar que -1 não é um desses pontos problemáticos: para todo k\in\mathbb{Z} vale
\left|\frac{(2k+1)\pi}{2}\right|\ge\frac{\pi}{2}>\,1,
portanto \dfrac{(2k+1)\pi}{2} nunca é igual a -1. Logo \tan está definida e é contínua em -1.

Passo 5

Aplicar o teorema de continuidade de funções compostas.
  • Já temos \displaystyle \lim_{x\to\pi} \big(\operatorname{sen} x+\cos x\big)=-1 e \tan é contínua em -1.
  • Portanto, pelo teorema,
\lim_{x\to\pi} \tan\big(\operatorname{sen} x+\cos x\big)=\tan\big(-1\big).
  • Observação simpática: como \tan é função ímpar, \tan(-1)=-\tan(1). Se preferir, pode escrever o resultado nessa forma.

Resposta

\tan(-1) = -\tan(1)

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