Calcule os limites abaixo utilizando o artificio das raízes:
lim x 1 raiz6 x^2-2 x-raiz2 x^3+2x^2+3 x-4

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite
limxto1raiz6x^2-2x-raiz2x^3+2x^2+3x-4
usando a técnica de racionalização de raízes. Precisamos reconhecer que é uma indeterminação do tipo 0/0 e, para resolvê-la, vamos racionalizar o numerador.

Passo 2

Primeiro, avalio as quantidades em x=1 para ver a forma da indeterminação. Para x=1:
raiz6cdot1^2-2cdot1=raiz6-2=2,
raiz2cdot1^3+2=raiz2+2=2,
e
1^2+3cdot1-4=1+3-4=0
Logo o numerador é 2-2=0 e o denominador é 0, caracterizando 0/0.

Passo 3

Para eliminar a raiz, multiplico numerador e denominador pelo conjugado do numerador, isto é, por
raiz6x^2-2x+raiz2x^3+2
Fica
raiz6x^2-2x-raiz2x^3+2x^2+3x-4;=; (raiz6x^2-2x-raiz2x^3+2)(raiz6x^2-2x+raiz2x^3+2)(x^2+3x-4)(raiz6x^2-2x+raiz2x^3+2)
No numerador teremos a diferença de quadrados.

Passo 4

Calculo a diferença de quadrados no numerador e fatoro denominação comum em x-1:
Num = (6x^2-2x)-(2x^3+2) = -2x^3+6x^2-2x-2
Fatorando por agrupamento ou divisão sintética, obtemos
-2x^3+6x^2-2x-2 = -2(x-1)(x^2-2x-1)
E o denominador original também é
x^2+3x-4=(x-1)(x+4)
Portanto o quociente fica
-2(x-1)(x^2-2x-1)(x-1)(x+4)(raiz6x^2-2x+raiz2x^3+2)
Cancelamos x-1.

Passo 5

Após o cancelamento, o limite vira:
limxto1-2(x^2-2x-1)(x+4)(raiz6x^2-2x+raiz2x^3+2)
Substituo x=1:
Num=-2(1-2-1)=-2(-2)=4,
Den=(1+4)(2+2)=5cdot4=20
Logo o limite é 4/20=1/5.

Resposta

1/5

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