Resolva as equaçöes diferenciais abaixo:
(x+1) y y^prime+(y^2+1) x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: (x+1) y y^prime + (y^2+1) x = 0. Estamos lidando com uma equação diferencial que envolve derivadas de em relação a . Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis, ou seja, organizar os termos de modo que todos os fiquem de um lado e os do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar y' = -x(y^2 + 1)(x + 1) y na equação. Começamos dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis yy^2 + 1 dy = -xx + 1 dx e . Para fazer isso, trazemos todos os termos com para um lado e os termos com para o outro:

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos começar integrando o lado esquerdo com respeito a integral yy^2 + 1 dy = -integral xx + 1 dx e o lado direito com respeito a :

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente. Para a integral à esquerda:
integral yy^2 + 1 dy = 12 ln(y^2 + 1) + C1
E para a integral à direita, podemos simplificar antes de integrar:
-integral xx + 1 dx = -( integral 1 , dx - integral 1x + 1 dx ) = -x + ln|x + 1| + C2

Passo 6

Juntando as integrais resolvidas, temos:
12 ln(y^2 + 1) = -x + ln|x + 1| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
12 ln(y^2 + 1) = -x + ln(x + 1) + C

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