Faça o que se pede:
Use multiplicadores de Lagrange para minimizar a superfície de uma caixa de base quadrada de lado x e altura y, sem tampa, cujo volume é 8 dm^3. Dê as dimensões da caixa e a medida de superfície mínima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa minimizar a superfície de uma caixa sem tampa que tem base quadrada. A caixa tem lados da base medindo x e a altura y. A gente sabe que o volume dessa caixa é igual a 8 dm^3. Vamos usar multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização, pra encontrar as dimensões ideais da caixa e descobrir qual é a menor superfície possível.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que queremos minimizar e a restrição que temos. A superfície da caixa sem tampa é composta pelas áreas da base e das quatro laterais. Então, a função que representa a superfície ( S) é:
S = x^2 + 4xy
E a restrição é que o volume ( V) deve ser 8 dm^3:
V = x^2 y = 8
Aqui, usamos que o volume de uma caixa com base quadrada é a área da base ( x^2) vezes a altura ( y).

Passo 3

Agora, vamos usar os multiplicadores de Lagrange. A ideia é encontrar os pontos onde o gradiente da função que queremos minimizar ( S) é paralelo ao gradiente da função de restrição ( V). Matemáticamente, isso significa que:
nabla S = lambda nabla V
Onde lambda é o multiplicador de Lagrange.

Passo 4

Vamos calcular os gradientes das duas funções. O gradiente de S é:
nabla S = ( partial Spartial x, partial Spartial y ) = (2x + 4y, 4x)
E o gradiente de V é:
nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y ) = (2xy, x^2)

Passo 5

Segundo a condição dos multiplicadores de Lagrange:
2x + 4y = lambda cdot 2xy 4x = lambda cdot x^2
Também temos a restrição:
x^2 y = 8

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da segunda equação:
4x = lambda x^2 Rightarrow lambda = 4x
Substituindo lambda na primeira equação:
2x + 4y = (4x) cdot 2xy 2x + 4y = 8y 2x = 4y y = x2
Agora, substituindo y = x2 na restrição:
x^2 cdot x2 = 8 x^32 = 8 x^3 = 16 x = raiz[3]16 approx 2.52 dm
E então:
y = 2.522 approx 1.26 dm

Passo 7

Vamos calcular a superfície mínima usando os valores de x e y encontrados:
S = x^2 + 4xy S = (2.52)^2 + 4 cdot 2.52 cdot 1.26 S approx 6.35 + 12.70 S approx 19.05 dm^2

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam a superfície são aproximadamente x = 2.52 dm e y = 1.26 dm. A superfície mínima é cerca de 19.05 dm²².

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