Faça o que se pede:
Use multiplicadores de Lagrange para minimizar a superfície de uma caixa de base quadrada de lado
e altura y, sem tampa, cujo volume é
. Dê as dimensões da caixa e a medida de superfície mínima.
Use multiplicadores de Lagrange para minimizar a superfície de uma caixa de base quadrada de lado
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa minimizar a superfície de uma caixa sem tampa que tem base quadrada. A caixa tem lados da base medindo
e a altura
. A gente sabe que o volume dessa caixa é igual a
. Vamos usar multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização, pra encontrar as dimensões ideais da caixa e descobrir qual é a menor superfície possível.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que queremos minimizar e a restrição que temos. A superfície da caixa sem tampa é composta pelas áreas da base e das quatro laterais. Então, a função que representa a superfície (
) é:
E a restrição é que o volume (
) deve ser
:
Aqui, usamos que o volume de uma caixa com base quadrada é a área da base (
) vezes a altura (
).
Passo 3
Agora, vamos usar os multiplicadores de Lagrange. A ideia é encontrar os pontos onde o gradiente da função que queremos minimizar (
) é paralelo ao gradiente da função de restrição (
). Matemáticamente, isso significa que:
Onde
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 4
Vamos calcular os gradientes das duas funções. O gradiente de
é:
E o gradiente de
é:
Passo 5
Segundo a condição dos multiplicadores de Lagrange:
Também temos a restrição:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Agora, substituindo
na restrição:
E então:
Passo 7
Vamos calcular a superfície mínima usando os valores de
e
encontrados:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam a superfície são aproximadamente
e
. A superfície mínima é cerca de
.