Calcule os limites abaixo utilizando a regra de L’hospital:
lim x 0 (-x+1)^2-cos (x)2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0(-x+1)^2-cos(x)2x
usando a regra de L’Hôpital, que vale quando obtemos uma forma indeterminada tfrac00 ou tfracinftyinfty e as funções são diferenciáveis perto de x=0.

Passo 2

Primeiro, verificamos a forma da expressão em x=0. O numerador fica
(-0+1)^2 - cos(0) = 1 - 1 = 0
e o denominador é
2cdot 0 = 0
Portanto temos a forma tfrac00, e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador separadamente:
ddxl[(-x+1)^2 - cos(x)r] = ddx[(-x+1)^2] ;-;ddx[cos(x)]
ddx[(-x+1)^2] = 2(-x+1)cdot(-1) = -2(-x+1) = 2x - 2, ddx[cos(x)] = -sin(x)
Logo, a derivada do numerador é
2x - 2 ;-;(-sin(x)) = -2 + 2x + sin(x),
e a derivada do denominador é
ddx[2x] = 2

Passo 4

Pela regra de L’Hôpital,
limxto0(-x+1)^2-cos(x)2x = limxto0-2 + 2x + sin(x)2
Ao x → 0, 2xto0 e sin(x)to0, então o numerador vai para -2. Assim
limxto0-2 + 2x + sin(x)2 = -22 = -1

Resposta

-1

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