Questão 3. A função y=f(x), y>0, é dada implicitamente por x^4+2 y^4=3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abscissa 1 .

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^4 + 2,y^4 = 3
com y=f(x) e y>0, e pede a reta tangente no ponto cuja abscissa é x=1. Para isso precisamos (1) encontrar a ordenada correspondente, (2) calcular y' por diferenciação implícita e (3) usar a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Substituímos x=1 em
1^4 + 2,y^4 = 3
para achar y. Isso dá
1 + 2,y^4 = 3 Longrightarrow 2,y^4 = 2 Longrightarrow y^4 = 1 Longrightarrow y = 1
(escolhemos o sinal positivo pois y>0). Logo o ponto de tangência é (1,1).

Passo 3

Derivamos implicitamente a equação em relação a x:
ddx(x^4) + ddx(2,y^4) = 0 Longrightarrow 4,x^3 + 8,y^3,y' = 0
Isolando y' vem
y' = -4,x^38,y^3 = -x^32,y^3

Passo 4

Em (1,1) o coeficiente angular da reta tangente é
m = y'(1) = -1^32cdot1^3 = -12

Passo 5

Usamos a forma ponto-inclinação
y - y0 = m,(x - x0)
com (x0,y0)=(1,1) e m=-tfrac12:
y - 1 = -tfrac12,(x - 1)
Isolando y obtemos
y = -tfrac12,x + tfrac12 + 1 = -tfrac12,x + tfrac32

Resposta

y = -12,x + 32

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