Calcule os limites abaixo,caso existam.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+1}{3 x-2 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+1}{3x-2x^{2}}.
Este é um limite de função racional em que o grau do polinômio no numerador e no denominador é o mesmo (grau 2). Para resolver, vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pela maior potência de x, que é x^{2}.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^{2}:
\frac{x^{2}+1}{3x-2x^{2}} =\frac{\frac{x^{2}+1}{x^{2}}}{\frac{3x-2x^{2}}{x^{2}}} =\frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{\frac{3}{x}-2}.

Passo 3

Agora analisamos o comportamento quando x\to\infty:
\tfrac{1}{x^{2}}\to0 e \tfrac{3}{x}\to0. Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{\frac{3}{x}-2} =\frac{1+0}{0-2} =-\tfrac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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