Calcule os limites abaixo,caso existam.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+9}-3}{2 x}

Passo 1

Resumindo o enunciado, precisamos calcular
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{2x}.
O conteúdo envolve limite de forma indeterminada \frac{0}{0} e vamos usar racionalização do numerador para resolvê-lo.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0: o numerador fica \sqrt{9}-3=0 e o denominador fica 2\cdot0=0. Logo, temos o tipo \frac{0}{0}, que permite manipulação algébrica.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x+9}+3 para eliminar a raiz no numerador:
\frac{\sqrt{x+9}-3}{2x}\;\times\;\frac{\sqrt{x+9}+3}{\sqrt{x+9}+3} =\frac{(\sqrt{x+9})^2-3^2}{2x\,(\sqrt{x+9}+3)} =\frac{x+9-9}{2x\,(\sqrt{x+9}+3)} =\frac{x}{2x\,(\sqrt{x+9}+3)}.

Passo 4

Simplificando o fator x no numerador e no denominador, obtemos a expressão equivalente
\frac{1}{2\,(\sqrt{x+9}+3)}.

Passo 5

Agora basta avaliar o limite dessa forma simplificada quando x\to0:
\lim_{x\to0}\frac{1}{2\,(\sqrt{x+9}+3)} =\frac{1}{2\,(3+3)} =\frac{1}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}

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