Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
lim x 0 cos 2 x-cos 3 xx^2 cdot 52

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0cos2x-cos3xx^2cdot52, usando limites fundamentais (em especial limuto01-cos uu^2=tfrac12).

Passo 2

Reescrevemos o numerador separando as parcelas que tendem a zero: cos2x-cos3x=(cos2x-1)-(cos3x-1).
Fatoramos tfrac52 e colocamos a diferença sob um único limite:
limxto0cos2x-cos3xx^2cdot52=52limxto0l(cos2x-1x^2-cos3x-1x^2r)

Passo 3

Para cada termo usamos o limite fundamental adaptado a kx:
limxto0cos(kx)-1x^2=k^2limxto0cos(kx)-1(kx)^2=k^2l(-tfrac12r)=-tfrack^22

Passo 4

Aplicando com k=2 e k=3 dentro do colchete:
cos2x-1x^2to-tfrac2^22=-2, cos3x-1x^2to-tfrac3^22=-tfrac92,
Logo o colchete tende a -2-(-9/2)=5/2.
Multiplicando pelo fator externo 5/2
52cdot52=254

Resposta

25/4

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