Uma escada deve ser estendida sobre uma cerca de 36 dm de altura até uma parede situada a 6 dm atrás da cerca. Qual é o comprimento da menor escada que pode ser usada?
Passo 1
O enunciado pede a menor escada que, apoiada no chão, passe por cima de uma cerca de altura 36 dm e toque numa parede que fica a 6 dm atrás da cerca. O conteúdo é otimização de função de uma variável, usando similaridade de triângulos e derivada para achar o mínimo.
Passo 2
Vamos modelar a situação em planta: seja o pé da escada a uma distância
da cerca, medidos no chão (logo, fica a
dm da parede). A escada forma um triângulo retângulo com a parede. Se
é a altura onde a escada toca a parede, por similaridade entre o triângulo maior (base
, altura
) e o menor (base
, altura 36) temos:
Passo 3
O comprimento da escada
vem do teorema de Pitágoras no triângulo de catetos
e
:
Passo 4
Para achar o mínimo de
, basta minimizar
. Definindo
calculamos
Passo 5
Daí
e substituindo em
Passo 6
Numericamente, isso dá aproximadamente 53,52 dm.