Uma escada deve ser estendida sobre uma cerca de 36 dm de altura até uma parede situada a 6 dm atrás da cerca. Qual é o comprimento da menor escada que pode ser usada?

Passo 1

O enunciado pede a menor escada que, apoiada no chão, passe por cima de uma cerca de altura 36 dm e toque numa parede que fica a 6 dm atrás da cerca. O conteúdo é otimização de função de uma variável, usando similaridade de triângulos e derivada para achar o mínimo.

Passo 2

Vamos modelar a situação em planta: seja o pé da escada a uma distância a da cerca, medidos no chão (logo, fica a a-6 dm da parede). A escada forma um triângulo retângulo com a parede. Se y é a altura onde a escada toca a parede, por similaridade entre o triângulo maior (base a, altura y) e o menor (base a-6, altura 36) temos:
ya=36a-6 Longrightarrow y=36,aa-6

Passo 3

O comprimento da escada L vem do teorema de Pitágoras no triângulo de catetos a e y:
L(a)=raiza^2+y^2=raiza^2+l(36aa-6r)^2

Passo 4

Para achar o mínimo de L(a), basta minimizar L^2(a). Definindo
f(a)=L^2(a)=a^2+(36a)^2(a-6)^2,
calculamos f'(a)=0. Fazendo a derivada e simplificando obtemos
2a-15552a(a-6)^3=0Longrightarrow(a-6)^3=7776

Passo 5

Daí
a-6=raiz[3]7776=6raiz[3]36,
e substituindo em L(a) chega-se à forma fechada
Lmin=(36^2/3+6^2/3)^3/2

Passo 6

Numericamente, isso dá aproximadamente 53,52 dm.

Resposta

(36^2/3+6^2/3)^3/2 dmapprox53,52 dm

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