Encontre o ponto da reta de equação y=3 x+4 mais próximo do ponto (1,-2). Qual é a distância mínima?

Passo 1

Temos a reta y=3x+4 e o ponto (1,-2). O conteúdo é Geometria Analítica: projeção ortogonal de um ponto numa reta. Para resolver, vamos usar que o ponto mais próximo é a interseção entre a reta dada e a reta perpendicular que passa pelo ponto.

Passo 2

A reta dada tem coeficiente angular m=3. A perpendicular tem coeficiente mperp=-1/3. Como ela passa por (1,-2), sua equação é
y+2 = -13(x-1)

Passo 3

Resolvendo o sistema entre
y = 3x+4
e
y = -13x - 53
igualamos as duas expressões de y:
3x+4 = -tfrac13x - tfrac53
Multiplicando por 3: 9x+12 = -x-5, então 10x=-17 e x=-tfrac1710. Substituindo em y=3x+4 y=-tfrac1110. Logo o ponto buscado é (-17/10,-11/10).

Passo 4

A distância mínima é a distância entre (1,-2) e (-17/10,-11/10):
raizl(1+tfrac1710r)^2 + l(-2+tfrac1110r)^2 = raiztfrac8110 = tfrac9raiz10

Resposta

O ponto mais próximo é (-tfrac1710, -tfrac1110) e a distância mínima vale tfrac9raiz10.

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