Em um experimento sobre pássaros foi estabelecido a seguinte formulação sobre a potência P que ele deve manter durante o voo: Sendo v a velocidade do pássaro relativa ao ar, W seu peso e
rho a densidade do ar, então
P(v)=W^22 rho S v+rho A v^32
sendo que as constantes A e S são quantidades relacionadas com a forma e o tamanho do pássaro. Determine a velocidade v0 que minimiza a potência P.

Passo 1

O enunciado apresenta a função de potência do pássaro em voo
P(v)=W^22rho S v+rho A v^32,
e pede a velocidade v0 que minimiza P. É um problema de otimização de uma variável, onde vamos usar derivada para encontrar o ponto crítico e checar que é mínimo.

Passo 2

Calculamos a derivada de P(v) em relação a v. Lembrando que a derivada de v^-1 é -v^-2 e de v^3 é 3v^2, obtemos
dPdv=-W^22rho S v^2+3rho A v^22

Passo 3

Para achar o ponto crítico, igualamos dP/dv=0 e resolvemos para v:
-W^22rho S v^2+3rho A v^22=0 Longrightarrow W^22rho S v^2=3rho A v^22
Multiplicando ambos os lados por 2rho S v^2 ficamos com
W^2=3rho^2A S,v^4
Logo,
v0=gl(W^23rho^2A Sgr)^1/4

Passo 4

Para garantir que esse ponto crítico seja um mínimo, calculamos a segunda derivada:
d^2Pdv^2=W^2rho S v^3+3rho A v
Como ambos os termos são positivos para v>0, temos d^2P/dv^2>0, confirmando um mínimo.

Passo 5

A velocidade v0 que minimiza a potência é dada por

Resposta

v0=l(W^23rho^2A Sr)^1/4.

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