Em um experimento sobre pássaros foi estabelecido a seguinte formulação sobre a potência
que ele deve manter durante o voo: Sendo
a velocidade do pássaro relativa ao ar,
seu peso e
a densidade do ar, então
sendo que as constantes
e
são quantidades relacionadas com a forma e o tamanho do pássaro. Determine a velocidade
que minimiza a potência
.
Passo 1
O enunciado apresenta a função de potência do pássaro em voo
e pede a velocidade
que minimiza
. É um problema de otimização de uma variável, onde vamos usar derivada para encontrar o ponto crítico e checar que é mínimo.
Passo 2
Calculamos a derivada de
em relação a
. Lembrando que a derivada de
é
e de
é
, obtemos
Passo 3
Para achar o ponto crítico, igualamos
e resolvemos para
:
Multiplicando ambos os lados por
ficamos com
Logo,
Passo 4
Para garantir que esse ponto crítico seja um mínimo, calculamos a segunda derivada:
Como ambos os termos são positivos para
, temos
, confirmando um mínimo.
Passo 5
A velocidade
que minimiza a potência é dada por