Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido. O enunciado pede
calcular
calcular
Observações imediatas (pego esses valores do próprio enunciado):
- Quando
temos . - Portanto o numerador tende a
. - O denominador tende a
.
Logo a expressão tem a forma indeterminada
. A partir daqui precisamos manipular a expressão para usar um limite fundamental.
Passo 2
Escolho uma mudança de variável simples que deixe o denominador exatamente como a variável que tende a zero: defino
Expliquei o que cada coisa significa:
é a diferença entre
e
. Quando
temos
Também escrevo
em função de
:
Passo 3
Uso a identidade trigonométrica para transformar o numerador. Substituindo
obtemos
Aplicando a fórmula de soma de cossenos (ou avaliando diretamente
):
Substituindo numerador e denominador na razão original, obtemos
Passo 4
Agora uso o limite fundamental dos senos, que é essencial nesta prova:
Esse resultado diz, num linguajar simples, que para ângulos muito pequenos
é aproximadamente
. Aplicando isso ao caso com o sinal negativo:
(Dica: poder-se-ia também usar a regra de L’Hôpital, mas a substituição com o limite fundamental é direto e mais elementar.)