Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\cos \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido. O enunciado pede
calcular
\lim_{x\to\pi}\frac{\cos\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}}.
Observações imediatas (pego esses valores do próprio enunciado):
  • Quando x=\pi temos \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}.
  • Portanto o numerador tende a \cos\frac{\pi}{2}=0.
  • O denominador tende a \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0.
Logo a expressão tem a forma indeterminada \frac{0}{0}. A partir daqui precisamos manipular a expressão para usar um limite fundamental.

Passo 2

Escolho uma mudança de variável simples que deixe o denominador exatamente como a variável que tende a zero: defino
u=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}.
Expliquei o que cada coisa significa: u é a diferença entre \frac{x}{2} e \frac{\pi}{2}. Quando x\to\pi temos
u=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}\longrightarrow 0.
Também escrevo \frac{x}{2} em função de u:
\frac{x}{2}=u+\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Uso a identidade trigonométrica para transformar o numerador. Substituindo \frac{x}{2}=u+\frac{\pi}{2} obtemos
\cos\frac{x}{2}=\cos\Bigl(u+\frac{\pi}{2}\Bigr).
Aplicando a fórmula de soma de cossenos (ou avaliando diretamente \cos(\frac{\pi}{2}+u)):
\cos\Bigl(u+\frac{\pi}{2}\Bigr)=\cos\frac{\pi}{2}\cos u-\sin\frac{\pi}{2}\sin u=0\cdot\cos u-1\cdot\sin u=-\sin u.
Substituindo numerador e denominador na razão original, obtemos
\frac{\cos\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}}=\frac{-\sin u}{u}.

Passo 4

Agora uso o limite fundamental dos senos, que é essencial nesta prova:
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Esse resultado diz, num linguajar simples, que para ângulos muito pequenos \sin u é aproximadamente u. Aplicando isso ao caso com o sinal negativo:
\lim_{x\to\pi}\frac{\cos\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}} = \lim_{u\to 0}\frac{-\sin u}{u} = -\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u} = -1.
(Dica: poder-se-ia também usar a regra de L’Hôpital, mas a substituição com o limite fundamental é direto e mais elementar.)

Resposta

-1

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