Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\tan 4 t}{2 t}

Passo 1

O enunciado pede claramente o cálculo do seguinte limite quando t tende a zero:
\lim_{t\rightarrow 0} \frac{\tan 4t}{2t}.
Informações dadas: a expressão é \dfrac{\tan 4t}{2t} e a variável que vai para zero é t. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Lembrete fundamental que vou usar (limites fundamentais):
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1.
A partir disso e da relação \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, posso deduzir que
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=1.
Explicando passo a passo: escrevendo \dfrac{\tan x}{x}=\dfrac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}. Quando x\to 0 tem-se \dfrac{\sin x}{x}\to 1 e \cos x\to 1, logo \dfrac{\tan x}{x}\to 1. Aqui cada variável está clara: x é o argumento pequeno das funções trigonométricas.

Passo 3

Faço uma manipulação algébrica para encaixar o caso no limite fundamental acima. Defino u=4t (note que quando t\to 0 também u\to 0). Reescrevo a expressão:
\frac{\tan 4t}{2t} = \frac{\tan(4t)}{4t}\cdot\frac{4t}{2t}.
Observe que \dfrac{4t}{2t}=2 para t\neq 0. Então a expressão vira
\frac{\tan 4t}{2t}=\frac{\tan(4t)}{4t}\cdot 2.

Passo 4

Agora aplico o limite. Como u=4t e u\to 0 quando t\to 0, pelo passo 2 vale \lim_{u\to 0}\dfrac{\tan u}{u}=1. Portanto
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\tan 4t}{2t} = \left(\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\tan(4t)}{4t}\right)\cdot 2 = \left(\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\tan u}{u}\right)\cdot 2 =1\cdot 2.

Passo 5

Concluo que o valor do limite é
2.

Resposta

2

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