Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
(a)
(j)
(b)
(k)
(c)
(1)
(d)
(m)
(e)
(n)
(f)
(o)
(g)
§
(h)
(q)
(i)
®
11. Uma função satisfaz , para valores de próximos de 1. Calcule . (Dica: utilize o Teorema do Sanduíche)
12. Uma função satisfaz . Calcule .
Passo 1
O enunciado pede calcular diversos limites usando limites fundamentais e expansões de primeira ordem (por exemplo, , , ,
expansões de e de perto de , e ainda aplicar o Teorema do Sanduíche em um dos exercícios.
Passo 2
Para os limites trigonométricos perto de zero, usamos:
Aplicando em cada caso:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Seja . Então quando , e
(f)
(g)
(h) Expandindo em série: , ,
logo
Passo 3
Para limites do tipo e , usamos e .
(i)
(j) Se quando ,
(k) Se quando ,
(l)
Passo 4
Para limites da forma com , usamos .
(m)
(n) Escreva , logo .
(o)
§ Com t=x-1to0, 3^t/4-1sin(5t) simtfrac14ln3;t5t=ln320
Passo 5
Para exponenciais e diferenças, usamos a expansão e^u=1+u+o(u) e sin u=u+o(u).
(q) e^-a x-e^-b xxsim(1-ax)-(1-bx)x=b-a
® e^a x-e^b xsin(a x)-sin(b x) sim(ax)-(bx)(ax)-(bx)=1
Passo 6
Para x perto de 1,
-x^2+3x<= f(x)<=-(x+1)cos(pi x)
Ao calcular xto1: -1^2+3cdot1=2 e -(1+1)cos(picdot1)=-2cospi=2.
Pelo Teorema do Sanduíche, limxto1f(x)=2
Passo 7
Da desigualdade lvert f(x)-3rvert<=2lvert x-1rvert,
quando xto1 o lado direito vai a 0, logo limxto1f(x)=3
Resposta
(a) 9
(b) tfrac43
(c) tfrac107
(d) a
(e) tfrac164
(f) 0
(g) tfrac12
(h) tfrac27
(i) e
(j) e
(k) e
(l) e^10
(m) ln10
(n) tfracln45
(o) 25ln5
§ tfracln320
(q) b-a
® 1
11. ;2
12. ;3