Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
(a) lim x sen 9 xx
(j) lim x pi / 2(1+1 / tg x)^tg x
(b) lim x 0 sen 4 x3 x
(k) lim x 3 pi / 2(1+cos x)^1 / cos x
(c) lim x 0 sen 10 xsen 7 x
(1) lim x infty(1+10x)^x
(d) lim x 0 tg a xx
(m) lim x 2 10^x-2-1x-2
(e) lim x -1 tg^3 x+14(x+1)^3
(n) lim x -3 4^(x+3) / 5-1x+3
(f) lim x 0 1-cos xx
(o) lim x 2 5^x-25x-2
(g) lim x 0 1-cos xx^2
§ lim x 1 3^(x-1) / 4-1sen[5(x-1)]
(h) lim x 0 6 x-sen 2 x2 x+3 sen 4 x
(q) lim x 0 e^-a x-e^-b xx
(i) lim n infty(2 n+32 n+1)^n+1
® lim x 0 e^a x-e^b xsen a x-sen b x
11. Uma função f: R R satisfaz -x^2+3 x <= f(x) <=-(x+1) cos pi x, para valores de x próximos de 1. Calcule lim x 1 f(x). (Dica: utilize o Teorema do Sanduíche)
12. Uma função f: R R satisfaz |f(x)-3| <= 2|x-1|, x in R. Calcule lim x 1 f(x).

Passo 1

O enunciado pede calcular diversos limites usando limites fundamentais e expansões de primeira ordem (por exemplo,
limxto0sin xx=1,
limxto01-cos xx^2=tfrac12,
limntoinfty(1+tfrac1n)^n=e,
expansões de e^u e de a^u perto de u=0, e ainda aplicar o Teorema do Sanduíche em um dos exercícios.

Passo 2

Para os limites trigonométricos perto de zero, usamos:
limxto0sin(ax)x=a, limxto0sin(ax)sin(bx)= a b, limxto0tan(ax)x=a, limxto01-cos xx=0, limxto01-cos xx^2=12
Aplicando em cada caso:
(a) limxto0sin9xx=9
(b) limxto0sin4x3x=43
(c) limxto0sin10xsin7x=107
(d) limxto0tan(a x)x=a
(e) Seja t=(x+1)/4. Então quando xto-1, tto0 e
tan^3l(tfracx+14r)(x+1)^3 =tan^3 t(4t)^3 =164l(tan ttr)^3 to164
(f) limxto01-cos xx=0
(g) limxto01-cos xx^2=tfrac12
(h) Expandindo em série: sin2x=2x+O(x^3), sin4x=4x+O(x^3),
6x-sin2x=4x+O(x^3), 2x+3sin4x=14x+O(x^3),
logo
limxto06x-sin2x2x+3sin4x=414=27

Passo 3

Para limites do tipo l(1+tfrac1ur)^u e l(1+ur)^1/u, usamos
limutoinfty(1+tfrac1u)^u=e e limuto0(1+u)^1/u=e.
(i) limntoinftyl(2n+32n+1r)^n+1 =limntoinftyl(1+22n+1r)^n+1=e
(j) Se y=tan xto+infty quando xtopi/2^-,
limxtopi/2(1+tfrac1tan x)^tan x =limytoinfty(1+tfrac1y)^y=e
(k) Se u=cos xto0 quando xto3pi/2,
limxto3pi/2(1+cos x)^1/cos x =limuto0(1+u)^1/u=e
(l) limxtoinftyl(1+tfrac10xr)^x=e^10

Passo 4

Para limites da forma a^g(x)-1h(x) com g(x),h(x)to0, usamos
limuto0a^u-1u=ln a.
(m) limxto210^x-2-1x-2=ln10
(n) Escreva t=(x+3)/5, logo tfracx+35=tto0.
4^(x+3)/5-1x+3=4^t-15ttoln45
(o) limxto25^x-25x-2=lddx5^x!r|x=2 =5^2ln5=25ln5
§ Com t=x-1to0,
3^t/4-1sin(5t) simtfrac14ln3;t5t=ln320

Passo 5

Para exponenciais e diferenças, usamos a expansão e^u=1+u+o(u) e
sin u=u+o(u).
(q)
e^-a x-e^-b xxsim(1-ax)-(1-bx)x=b-a
®
e^a x-e^b xsin(a x)-sin(b x) sim(ax)-(bx)(ax)-(bx)=1

Passo 6

Para x perto de 1,
-x^2+3x<= f(x)<=-(x+1)cos(pi x)
Ao calcular xto1:
-1^2+3cdot1=2 e -(1+1)cos(picdot1)=-2cospi=2.
Pelo Teorema do Sanduíche,
limxto1f(x)=2

Passo 7

Da desigualdade lvert f(x)-3rvert<=2lvert x-1rvert,
quando xto1 o lado direito vai a 0, logo
limxto1f(x)=3

Resposta

(a) 9
(b) tfrac43
(c) tfrac107
(d) a
(e) tfrac164
(f) 0
(g) tfrac12
(h) tfrac27
(i) e
(j) e
(k) e
(l) e^10
(m) ln10
(n) tfracln45
(o) 25ln5
§ tfracln320
(q) b-a
® 1
11. ;2
12. ;3

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