Sejam os grupos (G, cdot) e (J, cdot) e seja G times J o produto interno de G por J. Estabeleça quais das aplicações abaixo são homomorfismos e determine seus núcleos.
f2: G times J G dada por f2(x, y)=y.

Passo 1

Temos os grupos (G,cdot) e (J,cdot) e o produto direto Gtimes J cuja lei é
(x1,y1)cdot(x2,y2) = (,x1cdot x2,,y1cdot y2,)
A aplicação em questão é a projeção na segunda componente,
f2colon Gtimes J to J, f2(x,y)=y
Vamos verificar se isso é homomorfismo de grupos e, em caso afirmativo, achar ker f2.

Passo 2

Para ser homomorfismo precisamos ver se
f2l((x1,y1)cdot(x2,y2)r) = f2(x1cdot x2,,y1cdot y2)
coincide com
f2(x1,y1);cdot;f2(x2,y2) = y1cdot y2
Mas
f2(x1cdot x2,,y1cdot y2) = y1cdot y2,
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f2l((x1,y1)cdot(x2,y2)r) = f2(x1,y1)cdot f2(x2,y2),
e f2 é mesmo um homomorfismo.

Passo 3

O núcleo de f2 é
ker f2 = (x,y)in Gtimes J mid f2(x,y)=eJ,
onde eJ é o neutro em J. A condição f2(x,y)=eJ equivale a y=eJ, sem restrição sobre x. Portanto
ker f2 = GtimeseJ

Resposta

f2 é homomorfismo e
ker f2 = GtimeseJ

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