Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
lim x infty(1+2x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite infinito, que envolve uma expressão do tipo “um mais algo que tende a zero” elevado a um expoente que tende a infinito. O conteúdo aqui é o estudo de limites exponenciais fundamentais, em especial
limxtoinftyl(1+axr)^x=e^a

Passo 2

Definimos
L=limxtoinftyl(1+2xr)^x
e, para desempacotar esse limite, tomamos o logaritmo natural, obtendo uma forma indeterminada do tipo inftycdot0:
ln L=limxtoinftyxlnl(1+2xr)
Reescrevemos esse produto como quociente para usar o Teorema de l’Hôpital:
ln L=limxtoinftylnl(1+tfrac2xr)1/x

Passo 3

Aplicando l’Hôpital ao quociente acima, derivamos numerador e denominador em relação a x:
ddxlnl(1+2xr) =-2/x^21+2/x, ddxl(1xr)=-1x^2
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ln L =limxtoinfty -tfrac2x^2(1+2/x)-tfrac1x^2 =limxtoinfty21+2/x =2

Passo 4

Como ln L=2, concluímos que
L=e^2

Resposta

e^2

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