Resolva a equação de Bernoulli d yd x+2x y=x^2 y^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
d yd x + 2x,y = x^2,y^3
Este é um ODE da forma
d yd x + P(x),y = Q(x),y^n,
com P(x)=tfrac2x, Q(x)=x^2 e n=3. Vamos usar a substituição padrão u = y^1-n = y^-2 para transformá-la numa equação linear em u.

Passo 2

Definindo
u = y^-2,
derivamos em relação a x:
d ud x = dd xl(y^-2r) = -2,y^-3,d yd x

Passo 3

Da equação original temos
d yd x = -2x,y + x^2,y^3
Substituindo em dfracd ud x = -2,y^-3,dfracd yd x obtemos
d ud x = -2,y^-3l(-2x,y + x^2,y^3r) = 4x,y^-2 - 2,x^2
Como y^-2=u, a equação torna-se linear em u:
d ud x - 4x,u = -2,x^2

Passo 4

Para resolver
d ud x - 4x,u = -2,x^2
usamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral -4x,dxr) = exp(-4ln x) = x^-4
Multiplicando a equação por x^-4 fica
x^-4,d ud x - 4x,x^-4,u = -2,x^2,x^-4 Longrightarrow dd xl(x^-4ur) = -2,x^-2
Integrando ambos os lados:
x^-4u = integral -2,x^-2,dx = 2,x^-1 + C,
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u = 2,x^3 + C,x^4

Passo 5

Voltando a y, temos
y^-2 = 2,x^3 + C,x^4 Longrightarrow y^2 = 12,x^3 + C,x^4 Longrightarrow y = pm 1raiz2,x^3 + C,x^4

Resposta

y(x) = pm l(2,x^3 + C,x^4r)^-tfrac12,
com C constante arbitrária.

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