Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
lim x infty(x1+x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftyl(x1+xr)^x
O conteúdo principal são os limites fundamentais do tipo
limntoinftyl(1+tfrac1nr)^n=e
e suas variações.

Passo 2

Reescrevemos a base de forma a aproximá-la de 1. Note que
x1+x =1-11+x
Então a expressão vira
l(1-tfrac11+xr)^x

Passo 3

Para usar o limite fundamental fazemos a mudança de variável y=x+1. Quando xtoinfty temos ytoinfty e x=y-1. Logo
l(1-tfrac11+xr)^x =l(1-tfrac1yr)^y-1
Agora escrevemos
l(1-tfrac1yr)^y-1 =l(1-tfrac1yr)^y1-tfrac1y
Sabendo que limytoinftyl(1-tfrac1yr)^y=e^-1 e limytoinftyl(1-tfrac1yr)=1, obtemos
limytoinftyl(1-tfrac1yr)^y-1 =e^-11 =e^-1

Passo 4

Portanto o limite original é
limxtoinftyl(x1+xr)^x =e^-1

Resposta

e^-1

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