Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
lim x infty(2 x+32 x+1)^x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxtoinftyl(tfrac2x+32x+1r)^x+1.
Aqui vamos usar a ideia de reescrever a base na forma 1+u e depois aplicar a transformação logarítmica junto com o limite fundamental
limntoinftyl(1+tfracanr)^n=e^a.

Passo 2

Reescrevemos a fração na forma 1+u:
2x+32x+1 =2x+1+22x+1 =1+22x+1
Logo a expressão fica
l(1+22x+1r)^x+1

Passo 3

Para lidar com a potência que cresce, tomamos o logaritmo natural e analisamos
ln L =(x+1),ln!l(1+tfrac22x+1r),
onde L é nosso limite original.

Passo 4

Como xtoinfty, o termo tfrac22x+1 é pequeno, então usamos a expansão
ln(1+v)approx v para vto0. Aqui v=tfrac22x+1, então
ln L approx (x+1),22x+1
Para ver esse quociente converge, note que
(x+1),22x+1 =2x+22x+1 =2x+1+12x+1 =1+12x+1,
que tende a 1 quando xtoinfty.

Passo 5

Como ln Lto1, conclui-se que
L=expl(ln Lr)to e^1=e

Resposta

limxtoinftyl(tfrac2x+32x+1r)^x+1=e

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