Resolva a equação de Clairaut y=x d yd x+1d yd x e discuta a solução geral e a solução singular.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Clairaut
y = x,dydx ;+;1dydx,,
ou seja, de forma padrão
y = x,p + f(p), f(p)=1p, p=dydx
Vamos usar o procedimento clássico: diferenciar em relação a x e impor que o produto p'l(x + f'(p)r) se anule.

Passo 2

Diferenciando
y = x,p + 1p
em relação a x, lembrando que p = dy/dx e p' = d^2y/dx^2, obtemos
dydx = p = p + x,p' + l(f'(p)r),p'
ou seja
0 = x,p' + f'(p),p'
Fatorando p' fica
p',l(x + f'(p)r)=0

Passo 3

Do produto nulo temos duas possibilidades:
  1. p'=0.
    Então p é constante, digamos p=C. Substituindo em y = x,C + 1/C dá a solução geral: y = C,x + 1C, Cneq 0

Passo 4

  1. x + f'(p)=0.
    Como f(p)=1/p, temos f'(p) = -1p^2, logo a condição é x - 1p^2 = 0 Longrightarrow p^2 = 1x Longrightarrow p = pm 1raizx Substituindo p em y = x,p + 1/p obtemos cada ramo da solução singular: y = x!l(pm x^-tfrac12r) + l(pm x^-tfrac12r)^-1 = pm 2,raizx

Passo 5

Discussão das soluções:
  • A família de retas y = Cx + 1/C (com Cneq0) é a solução geral de Clairaut.
  • A curva y = 2raizx e a curva y = -2raizx formam a solução singular, que é a envoltória das retas da solução geral. Note que elas só existem para x>0.

Resposta

Solução geral:
y = C,x + 1C, Cneq0
Solução singular (envelopes):
y = 2,raizx e y = -2,raizx, x>0

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