Resolva a equação de Clairaut
e discuta a solução geral e a solução singular.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Clairaut
ou seja, de forma padrão
Vamos usar o procedimento clássico: diferenciar em relação a
e impor que o produto
se anule.
Passo 2
Diferenciando
em relação a
, lembrando que
e
, obtemos
ou seja
Fatorando
fica
Passo 3
Do produto nulo temos duas possibilidades:
-
.
Entãoé constante, digamos . Substituindo em dá a solução geral:
Passo 4
-
.
Como, temos logo a condição é Substituindo em obtemos cada ramo da solução singular:
Passo 5
Discussão das soluções:
- A família de retas
(com ) é a solução geral de Clairaut. - A curva
e a curva formam a solução singular, que é a envoltória das retas da solução geral. Note que elas só existem para .
Resposta
Solução geral:
Solução singular (envelopes):