w(x)=\left\{\begin{array}{cl} a x, & \text { se } x \leq R \\\ \frac{b}{x^{2}}, & \text { se } x>R \end{array},\right.
onde x é a distância do objeto ao centro da Terra, R o raio da Terra e a e b são constantes. Que relação deve existir entre estas constantes para que w seja uma função contínua?
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes para o peso w(x):
w(x)=\left\{\begin{array}{cl} a x, & \text{se } x \leq R,\\[4pt] \dfrac{b}{x^{2}}, & \text{se } x>R, \end{array}\right.
onde x é a distância ao centro da Terra, R é o raio da Terra e a e b são constantes.
A pergunta é: que relação deve existir entre a e b para que w seja contínua (em toda a sua definição, em particular em x=R)?]
Passo 2
Lembrando a definição prática de continuidade num ponto: uma função f é contínua em x_0 se e somente se os três valores coincidirem:
f(x_0) (o valor da função no ponto),
\displaystyle\lim_{x\to x_0^-} f(x) (limite pela esquerda),
\displaystyle\lim_{x\to x_0^+} f(x) (limite pela direita).
Para uma função por partes como essa, só pode haver problema de continuidade no ponto onde as peças se encontram, que é x=R. Então precisamos garantir que os limites lateral esquerdo e direito em x=R existam e sejam iguais entre si e ao valor w(R).
Passo 3
Calcular o valor da função em x=R. Como a definição usa a primeira peça para x\le R, o valor em x=R é
w(R)=aR.
Expliquei: basta substituir x=R na expressão ax, pois essa é a peça que vale em x=R.
Passo 4
Calcular o limite pela esquerda em x=R. Para x<R a função é a reta ax, que é contínua em todos os pontos; portanto
\lim_{x\to R^-} w(x)=\lim_{x\to R^-} ax = aR.
Expliquei: para funções polinomiais/lineares, o limite ao se aproximar do ponto é simplesmente a substituição do ponto na expressão.
Passo 5
Calcular o limite pela direita em x=R. Para x>R a função é \dfrac{b}{x^{2}}, que é uma função racional contínua em x=R (já que R\neq 0 se for o raio da Terra). Logo
Expliquei: para funções racionais onde o denominador não zera no ponto considerado, o limite é a substituição direta.
Passo 6
Para que w seja contínua em x=R é necessário e suficiente que os limites laterais e o valor coincidam. Já vimos que o limite pela esquerda e o valor são aR e o limite pela direita é \dfrac{b}{R^{2}}. Portanto deve valer a igualdade
aR=\dfrac{b}{R^{2}}.
A partir dessa igualdade podemos obter a relação entre a e b (feito o desenvolvimento algébrico na resposta final).