Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
lim x 0 e^2 x-e^3 xsen(2 x)-sen(5 x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0e^2x-e^3xsin(2x)-sin(5x)
O conteúdo principal são os limites fundamentais e a expansão de Taylor de primeira ordem em torno de x=0.

Passo 2

Usamos a expansão
e^ax=1+ax+o(x)(xto0)
Logo
e^2x=1+2x+o(x), e^3x=1+3x+o(x),
e o numerador vira
e^2x-e^3x=(1+2x+o(x))-(1+3x+o(x))=-x+o(x)

Passo 3

Para o denominador usamos
sin(ax)=ax+o(x)(xto0)
Assim
sin(2x)=2x+o(x), sin(5x)=5x+o(x),
e
sin(2x)-sin(5x)=(2x+o(x))-(5x+o(x))=-3x+o(x)

Passo 4

Substituindo as aproximações no quociente, temos
e^2x-e^3xsin(2x)-sin(5x) approx-x+o(x)-3x+o(x) longrightarrow-x-3x=13

Resposta

13

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