Divida o polinômio P(x)=x^4+2 x^3-2 x^2-4 x-21 por D(x)=x+3, diga qual é o quociente Q(x) e o resto R(X). Depois escreva o polinômio P(x), na forma P(x)=D(x) cdot Q(x)+R(x)

Passo 1

O enunciado pede dividir o polinômio
P(x)=x^4+2x^3-2x^2-4x-21
pelo polinômio divisor
D(x)=x+3
Para isso usamos o algoritmo da divisão polinomial, que garante a existência de um quociente Q(x) e resto R(x) tais que
P(x)=D(x),Q(x)+R(x),
com deg R<deg D. Aqui deg D=1, então R será um número (ou seja, polinômio de grau 0).

Passo 2

Como D(x)=x+3 tem raiz em x=-3, podemos aplicar divisão sintética com -3. Colocamos os coeficientes de P(x):
coeficientes: (1,;2,;-2,;-4,;-21).
  1. Baixamos o 1.
  2. Multiplicamos -3cdot1=-3, somamos a 2 e obtemos -1.
  3. Multiplicamos -3cdot(-1)=3, somamos a -2 e obtemos 1.
  4. Multiplicamos -3cdot1=-3, somamos a -4 e obtemos -7.
  5. Multiplicamos -3cdot(-7)=21, somamos a -21 e obtemos 0.
Os números obtidos antes do último (que é o resto) são os coeficientes de Q(x).

Passo 3

Os coeficientes de Q(x) são (1,,-1,,1,,-7), logo
Q(x)=x^3-x^2+x-7
O resto da divisão é o último valor obtido, que é
R(x)=0

Passo 4

Substituindo em
P(x)=D(x),Q(x)+R(x)
temos
x^4+2x^3-2x^2-4x-21=(x+3)(x^3-x^2+x-7)+0

Resposta

Q(x)=x^3-x^2+x-7
R(x)=0
E
P(x)= (x+3),(x^3-x^2+x-7)+0

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