Resolva:
d yd x=y^2-2x y+2x^2

Passo 1

Estamos diante da equação de Riccati
dydx=y^2-2x,y+2x^2,
que é um caso particular de
y'=a(x),y^2+b(x),y+c(x)
Para resolver, usamos a transformação padrão
y=-u'u,
que reduz a Riccati a uma equação linear de segunda ordem para u(x).

Passo 2

Substituindo y=-u'/u temos
y'=-u''u+(u')^2u^2
e
y^2=(u')^2u^2
Na equação original os termos (u')^2/u^2 se cancelam, sobrando
-u''u=-b(x),u'u+c(x),
ou seja, com b(x)=-tfrac2x e c(x)=tfrac2x^2,
u''+2x,u'-2x^2,u=0

Passo 3

Reconhecemos uma equação de Euler-Cauchy. Assumimos u=x^m, logo
m(m-1)+2m-2=0Longrightarrow m^2+m-2=0Longrightarrow m=1,,-2
Assim a solução geral é
u(x)=C1,x+C2,x^-2,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 4

Voltando à transformação y=-u'/u, calculamos
u'(x)=C1-2C2,x^-3,
então
y(x)=-C1-2C2,x^-3C1,x+C2,x^-2
Multiplicando numerador e denominador por x^2 e chamando K=C2/C1, obtemos
y(x)=2K - x^3x,l(x^3+Kr),
onde K é constante de integração.

Resposta

boxedy(x)=2K - x^3x,(x^3+K), KinR

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