Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede calcular
Informações dadas:
- A expressão do numerador é
. - O denominador é
. - A tendência é
(limite bilateral pedido).
O que devemos fornecer: o valor do limite (se existir). Não foi pedido método específico, mas a instrução do exercício sugere aplicar a regra de L’Hôpital quando possível.
Passo 2
Verificar os limites separados do numerador e do denominador para identificar a forma indeterminada (se houver).
- Para
temos , então . - Para
a função tende para (porque e pequeno); para tende para (porque e pequeno).
Portanto o numerador tende para -
quando (pois ), -
quando .
O denominador satisfaz(sempre não negativo).
Assim a razão não está numa formanem ; é, na prática, algo como que não é uma indeterminação adequada para aplicar L’Hôpital. Logo, a regra de L’Hôpital NÃO é aplicável aqui.
Passo 3
Pequena aula sobre a regra de L’Hôpital (por que não podemos usá-la aqui).
- A regra de L’Hôpital diz: se
e (caso ) ou se ambos tendem a (caso ), e se e existem numa vizinhança de (exceto possivelmente em ) e existe (ou é ), então
- No nosso problema, como mostrado no passo anterior, o numerador não tende a
nem a de maneira igual para os dois lados (ele diverge para sinal oposto), então não temos um dos casos permitidos ou . Portanto L’Hôpital não pode ser usado corretamente.
Passo 4
Análise mais detalhada usando séries de Taylor (ou desenvolvimentos assintóticos) para entender o comportamento dominante perto de
.
- Expansões conhecidas em torno de
: - Daí
- Para
podemos escrever Fazendo a divisão de séries (ou lembrando a expansão conhecida), obtém-se os termos iniciais (Explicação curta: dividir por dá ; multiplicando por gera os termos acima.) - Substituindo nas expressões:
Portanto o termo dominante do numerador é . Mais precisamente, - Dividindo por
:
Esse desenvolvimento deixa claro que a expressão diverge quando
, com comportamento dominante
.
Passo 5
Determinar os limites laterais e concluir.
- Para
: pequeno dá . Logo - Para
: pequeno dá com , logo . Assim
Como os limites laterais são diferentes (um é
e o outro é
), o limite bilateral
não existe.
Resposta
O limite não existe.