Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{2} x-\operatorname{cotg}(x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{cotg}x}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A expressão do numerador é \operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{cotg}x.
  • O denominador é x^{2}.
  • A tendência é x\to 0 (limite bilateral pedido).
    O que devemos fornecer: o valor do limite (se existir). Não foi pedido método específico, mas a instrução do exercício sugere aplicar a regra de L’Hôpital quando possível.

Passo 2

Verificar os limites separados do numerador e do denominador para identificar a forma indeterminada (se houver).
  • Para x\to 0 temos \operatorname{sen}x\to 0, então \operatorname{sen}^{2}x\to 0.
  • Para x\to 0^{+} a função \operatorname{cotg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x} tende para +\infty (porque \sin x>0 e pequeno); para x\to 0^{-} tende para -\infty (porque \sin x<0 e pequeno).
    Portanto o numerador tende para
  • -\infty quando x\to 0^{+} (pois 0-\operatorname{cotg}x\to -\infty),
  • +\infty quando x\to 0^{-}.
    O denominador satisfaz x^{2}\to 0^{+} (sempre não negativo).
    Assim a razão não está numa forma 0/0 nem +\infty/\!+\infty; é, na prática, algo como (\pm\infty)/0 que não é uma indeterminação adequada para aplicar L’Hôpital. Logo, a regra de L’Hôpital NÃO é aplicável aqui.

Passo 3

Pequena aula sobre a regra de L’Hôpital (por que não podemos usá-la aqui).
  • A regra de L’Hôpital diz: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (caso 0/0) ou se ambos tendem a \pm\infty (caso \infty/\infty), e se f' e g' existem numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e \lim_{x\to a} f'(x)/g'(x) existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • No nosso problema, como mostrado no passo anterior, o numerador não tende a 0 nem a \pm\infty de maneira igual para os dois lados (ele diverge para sinal oposto), então não temos um dos casos permitidos 0/0 ou \infty/\infty. Portanto L’Hôpital não pode ser usado corretamente.

Passo 4

Análise mais detalhada usando séries de Taylor (ou desenvolvimentos assintóticos) para entender o comportamento dominante perto de 0.
  • Expansões conhecidas em torno de 0: \operatorname{sen}x = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}), \qquad \cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + O(x^{6}).
  • Daí \operatorname{sen}^{2}x = \bigl(x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5})\bigr)^{2} = x^{2} - \frac{x^{4}}{3} + O(x^{6}).
  • Para \operatorname{cotg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x} podemos escrever \operatorname{cotg}x=\frac{1 - \tfrac{x^{2}}{2} + \tfrac{x^{4}}{24} + O(x^{6})}{x - \tfrac{x^{3}}{6} + O(x^{5})} =\frac{1}{x}\cdot\frac{1 - \tfrac{x^{2}}{2} + \tfrac{x^{4}}{24} + O(x^{6})}{1 - \tfrac{x^{2}}{6} + O(x^{4})}.Fazendo a divisão de séries (ou lembrando a expansão conhecida), obtém-se os termos iniciais \operatorname{cotg}x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} + O(x^{3}).(Explicação curta: dividir 1 - \tfrac{x^{2}}{2}+\dots por 1-\tfrac{x^{2}}{6}+\dots 1 - \tfrac{x^{2}}{3}+\dots; multiplicando por 1/x gera os termos acima.)
  • Substituindo nas expressões: \operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{cotg}x =\bigl(x^{2}-\tfrac{x^{4}}{3}+O(x^{6})\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{x}-\tfrac{x}{3}+O(x^{3})\bigr).Portanto o termo dominante do numerador é -\dfrac{1}{x}. Mais precisamente, \operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{cotg}x = -\frac{1}{x} + \frac{x}{3} + x^{2} + O(x^{3}).
  • Dividindo por x^{2}: \frac{\operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{cotg}x}{x^{2}} = -\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{3x} + O(1).
Esse desenvolvimento deixa claro que a expressão diverge quando x\to 0, com comportamento dominante -1/x^{3}.

Passo 5

Determinar os limites laterais e concluir.
  • Para x\to 0^{+}: x>0 pequeno dá -\dfrac{1}{x^{3}}\to -\infty. Logo \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{cotg}x}{x^{2}}=-\infty.
  • Para x\to 0^{-}: x<0 pequeno dá -\dfrac{1}{x^{3}} com x^{3}<0, logo -1/x^{3}\to +\infty. Assim \lim_{x\to 0^{-}}\frac{\operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{cotg}x}{x^{2}}=+\infty.
Como os limites laterais são diferentes (um é -\infty e o outro é +\infty), o limite bilateral \lim_{x\to 0} não existe.

Resposta

O limite não existe.
\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{cotg}x}{x^{2}}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}\frac{\operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{cotg}x}{x^{2}}=+\infty

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