Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - O ponto onde a variável se aproxima é
.
A tarefa é calcular esse limite; o enunciado sugere aplicar a regra de L’Hôpital quando for possível.
Passo 2
Vou verificar a forma indeterminada ao avaliar numerador e denominador em
.
Avaliar o numerador em
:
Avaliar o denominador em
:
Portanto o quociente tem a forma indeterminada
, que é uma das formas onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as funções sejam diferenciáveis nas condições necessárias).
Passo 3
Breve explicação da regra de L’Hôpital (no aspecto que vamos usar): se
e
, e
e
são diferenciáveis num intervalo com
(exceto talvez em
), então, quando existir,
Ou seja, podemos substituir a razão pelas razões das derivadas, desde que o limite das derivadas exista (ou seja
). Aqui as funções envolvidas (
e
) são diferenciáveis em torno de
(exceto que
exige
, o que vale para
perto de
), então podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Calcular as derivadas do numerador e do denominador, explicando passo a passo:
- Derivada de
é , porque a função exponencial é sua própria derivada. - Derivada de
é . - Derivada da constante
é .
Logo a derivada do numerador é
- Derivada de
: usar a regra da cadeia. Se então . Aqui e . Assim
Pela regra de L’Hôpital, o limite original é igual (quando existir) ao limite
Passo 5
Simplificar a expressão obtida:
Agora verificar o valor quando
. Calcular diretamente os fatores em
:
Como o primeiro fator tende a
e o segundo fator tende a
, o produto tende a
. Logo
Portanto o limite pedido é
. (Aqui não foi necessário aplicar L’Hôpital novamente, porque após a primeira derivação o denominador deixou de ser
no ponto e a expressão pôde ser avaliada por continuidade.)
Passo 6
Para reforçar a intuição, cheque rápido via séries de Taylor (opcional, só para entender a ordem de pequenas grandezas):
-
. -
. -
.
Substituindo no numerador:
Assim o numerador é da ordem
enquanto o denominador é da ordem
, logo a razão é da ordem
e tende a
. Isso confirma o resultado obtido com L’Hôpital.
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