Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-\operatorname{sen} x-1}{\ln (1+x)}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0} \frac{e^{x}-\sin x-1}{\ln(1+x)}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão do numerador é e^{x}-\sin x-1.
  • A expressão do denominador é \ln(1+x).
  • O ponto onde a variável se aproxima é x\to 0.
    A tarefa é calcular esse limite; o enunciado sugere aplicar a regra de L’Hôpital quando for possível.

Passo 2

Vou verificar a forma indeterminada ao avaliar numerador e denominador em x=0.
Avaliar o numerador em 0:
e^{0}-\sin 0-1 = 1 - 0 - 1 = 0.
Avaliar o denominador em 0:
\ln(1+0) = \ln 1 = 0.
Portanto o quociente tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}, que é uma das formas onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as funções sejam diferenciáveis nas condições necessárias).

Passo 3

Breve explicação da regra de L’Hôpital (no aspecto que vamos usar): se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0, e f e g são diferenciáveis num intervalo com a (exceto talvez em a), então, quando existir,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Ou seja, podemos substituir a razão pelas razões das derivadas, desde que o limite das derivadas exista (ou seja \pm\infty). Aqui as funções envolvidas ( e^{x}-\sin x-1 e \ln(1+x)) são diferenciáveis em torno de 0 (exceto que \ln exige 1+x>0, o que vale para x perto de 0), então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Calcular as derivadas do numerador e do denominador, explicando passo a passo:
  • Derivada de e^{x} é e^{x}, porque a função exponencial é sua própria derivada.
  • Derivada de \sin x é \cos x.
  • Derivada da constante -1 é 0.
    Logo a derivada do numerador é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}-\sin x-1\bigr)=e^{x}-\cos x.
  • Derivada de \ln(1+x): usar a regra da cadeia. Se h(x)=\ln(u(x)) então h'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Aqui u(x)=1+x e u'(x)=1. Assim
\frac{d}{dx}\ln(1+x)=\frac{1}{1+x}.
Pela regra de L’Hôpital, o limite original é igual (quando existir) ao limite
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\cos x}{\dfrac{1}{1+x}}.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida:
\frac{e^{x}-\cos x}{\dfrac{1}{1+x}}=(e^{x}-\cos x)\,(1+x).
Agora verificar o valor quando x\to 0. Calcular diretamente os fatores em x=0:
e^{0}-\cos 0 = 1 - 1 = 0, \qquad 1+0 = 1.
Como o primeiro fator tende a 0 e o segundo fator tende a 1, o produto tende a 0. Logo
\lim_{x\to 0}(e^{x}-\cos x)\,(1+x)=0.
Portanto o limite pedido é 0. (Aqui não foi necessário aplicar L’Hôpital novamente, porque após a primeira derivação o denominador deixou de ser 0 no ponto e a expressão pôde ser avaliada por continuidade.)

Passo 6

Para reforçar a intuição, cheque rápido via séries de Taylor (opcional, só para entender a ordem de pequenas grandezas):
  • e^{x}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{6}+\cdots.
  • \sin x = x - \dfrac{x^{3}}{6} + \cdots.
  • \ln(1+x)=x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}+\cdots.
Substituindo no numerador:
e^{x}-\sin x-1 = \Bigl(1+x+\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{6}+\cdots\Bigr)-\Bigl(x-\dfrac{x^{3}}{6}+\cdots\Bigr)-1 = \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{3}}{3} + \cdots.
Assim o numerador é da ordem x^{2} enquanto o denominador é da ordem x, logo a razão é da ordem x e tende a 0. Isso confirma o resultado obtido com L’Hôpital.

Resposta

0

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