Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left[e^{x}\left(1+\frac{1}{e^{x}}\right)\right]^{x^{-1}}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x \to \infty:
\lim_{x\to\infty}\left[e^{x}\left(1+\frac{1}{e^{x}}\right)\right]^{x^{-1}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão dentro da potência é e^{x}\left(1+\dfrac{1}{e^{x}}\right).
  • O expoente é x^{-1}=\dfrac{1}{x}, que tende a 0 quando x\to\infty.
  • A base tende a +\infty quando x\to\infty (porque contém e^{x}).
  • Portanto a forma do limite é do tipo \infty^{0}, que é uma forma indeterminada — precisamos transformá‑la para poder avaliar o limite (por exemplo, usando logaritmo).
  • O enunciado pede que se aplique a regra de L’Hôpital quando for possível; veremos abaixo onde ela entra.

Passo 2

Primeira simplificação algébrica e estratégia:
e^{x}\left(1+\frac{1}{e^{x}}\right)=e^{x}+1.
Logo a função estudada é
f(x)=\left(e^{x}+1\right)^{1/x}.
Para lidar com potências em que a base e o expoente têm comportamentos que geram indeterminação (aqui \infty^{0}), é uma boa técnica tomar o logaritmo natural. Isso transforma a potência numa multiplicação, que costuma ser mais fácil de tratar com L’Hôpital. Mais precisamente, se definirmos
y=f(x)=\left(e^{x}+1\right)^{1/x},
então, se o limite de \ln y existir e for L_{\ln}, teremos o limite de y igual a e^{L_{\ln}} (porque a exponencial é contínua). Portanto calcularemos
\lim_{x\to\infty}\ln f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\left(e^{x}+1\right)}{x}.

Passo 3

Análise da forma do quociente e possibilidade de usar L’Hôpital:
  • Numerador: \ln\!\left(e^{x}+1\right). Quando x\to\infty, e^{x}+1\to\infty, então \ln\!\left(e^{x}+1\right)\to\infty.
  • Denominador: x\to\infty.
    Portanto o quociente \dfrac{\ln\!\left(e^{x}+1\right)}{x} é da forma \dfrac{\infty}{\infty}, que é uma das hipóteses clássicas em que a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as funções sejam diferenciáveis para x suficientemente grande — e aqui são, pois envolvem exponencial e logaritmo de funções positivas). Logo podemos aplicar L’Hôpital: derivar numerador e denominador e recomputar o limite.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital — derivadas:
  • Derivada do numerador \ln\!\left(e^{x}+1\right) em relação a x é, por regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\ln\!\left(e^{x}+1\right)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}.
(Explicação rápida: \dfrac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}; aqui u(x)=e^{x}+1 e u'(x)=e^{x}.)
  • Derivada do denominador x é 1.
    Pelo teorema de L’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\left(e^{x}+1\right)}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{e^{x}+1},
desde que o limite à direita exista (o que vamos verificar e calcular agora).

Passo 5

Cálculo do limite resultante:
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{e^{x}+1}.
Para ver o comportamento, dividimos numerador e denominador por e^{x}:
\frac{e^{x}}{e^{x}+1}=\frac{1}{1+e^{-x}}.
Como e^{-x}\to 0 quando x\to\infty, obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{1}{1+0}=1.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\left(e^{x}+1\right)}{x}=1.
Isso significa que o limite do logaritmo natural da função é 1.

Passo 6

Voltar da transformação logarítmica para a função original:
Se \lim_{x\to\infty}\ln f(x)=1, então pela continuidade da exponencial
\lim_{x\to\infty}f(x)=\exp\!\big( \lim_{x\to\infty}\ln f(x) \big)=\exp(1)=e.
Conclusão interpretativa: embora a base e^{x}+1 cresça muito, o expoente 1/x tende a zero; a combinação dá exatamente e. Outro modo rápido de ver (sem L’Hôpital) é escrever \ln(e^{x}+1)=x+\ln(1+e^{-x}) e dividir por x, obtendo 1+\dfrac{\ln(1+e^{-x})}{x} cujo segundo termo vai a 0, mas a aplicação de L’Hôpital que fizemos é direta e rigorosa.

Resposta

e

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