Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
:
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão dentro da potência é
. - O expoente é
, que tende a quando . - A base tende a
quando (porque contém ). - Portanto a forma do limite é do tipo
, que é uma forma indeterminada — precisamos transformá‑la para poder avaliar o limite (por exemplo, usando logaritmo). - O enunciado pede que se aplique a regra de L’Hôpital quando for possível; veremos abaixo onde ela entra.
Passo 2
Primeira simplificação algébrica e estratégia:
Logo a função estudada é
Para lidar com potências em que a base e o expoente têm comportamentos que geram indeterminação (aqui
), é uma boa técnica tomar o logaritmo natural. Isso transforma a potência numa multiplicação, que costuma ser mais fácil de tratar com L’Hôpital. Mais precisamente, se definirmos
então, se o limite de
existir e for
, teremos o limite de
igual a
(porque a exponencial é contínua). Portanto calcularemos
Passo 3
Análise da forma do quociente e possibilidade de usar L’Hôpital:
- Numerador:
. Quando , , então . - Denominador:
.
Portanto o quocienteé da forma , que é uma das hipóteses clássicas em que a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as funções sejam diferenciáveis para suficientemente grande — e aqui são, pois envolvem exponencial e logaritmo de funções positivas). Logo podemos aplicar L’Hôpital: derivar numerador e denominador e recomputar o limite.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital — derivadas:
- Derivada do numerador
em relação a é, por regra da cadeia,
(Explicação rápida:
; aqui
e
.)
- Derivada do denominador
é .
Pelo teorema de L’Hôpital:
desde que o limite à direita exista (o que vamos verificar e calcular agora).
Passo 5
Cálculo do limite resultante:
Para ver o comportamento, dividimos numerador e denominador por
:
Como
quando
, obtemos
Portanto
Isso significa que o limite do logaritmo natural da função é
.
Passo 6
Voltar da transformação logarítmica para a função original:
Se , então pela continuidade da exponencial
Se
Conclusão interpretativa: embora a base
cresça muito, o expoente
tende a zero; a combinação dá exatamente
. Outro modo rápido de ver (sem L’Hôpital) é escrever
e dividir por
, obtendo
cujo segundo termo vai a
, mas a aplicação de L’Hôpital que fizemos é direta e rigorosa.