Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão é o produto de duas funções:
e . - O ponto de aproximação é
. - É útil saber o comportamento de cada fator quando
: -
tende a quando . -
tem uma assíntota vertical em , portanto tende a (dependendo do lado).
-
- A forma do limite é, portanto, do tipo
, que é uma indeterminação que pode ser tratada transformando em quociente e, quando possível, aplicando a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Identificar o tipo de indeterminação e preparar para aplicar L’Hôpital.
Primeiro note que
Assim
A expressão original é um produto com um fator que vai para
e outro que diverge, ou seja, indeterminação do tipo
. Para aplicar a regra de L’Hôpital é conveniente transformar o produto em quociente. Uma forma natural é escrever
pois
. Agora observe os limites das partes:
Portanto temos uma indeterminação do tipo
, condição em que a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as derivadas existam nas proximidades do ponto).
Passo 3
Aplicar a regra de L’Hôpital: calcular as derivadas do numerador e do denominador e tomar o limite do quociente das derivadas.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Pelo teorema de L’Hôpital, o limite original vale o limite do quociente das derivadas (quando este existir):
Passo 4
Simplificar o quociente das derivadas e calcular o limite.
Simplificando,
Portanto
Como
, segue
Passo 5
Verificação alternativa (intuitiva e útil para a prova): mudança de variável sem L’Hôpital.
Defina
. Quando
tem-se
e
Então
Lembrando o limite notório
e que
, obtemos novamente
Essa verificação mostra também que o limite existe (o mesmo para aproximação por ambos os lados).
Resposta
2