Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}[(\pi-2 x) \operatorname{tg}(x)]

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\big[(\pi-2x)\operatorname{tg}(x)\big].
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é o produto de duas funções: x\mapsto \pi-2x e x\mapsto \operatorname{tg}(x).
  • O ponto de aproximação é x=\dfrac{\pi}{2}.
  • É útil saber o comportamento de cada fator quando x\to\dfrac{\pi}{2}:
    • \pi-2x tende a 0 quando x\to\dfrac{\pi}{2}.
    • \operatorname{tg}(x) tem uma assíntota vertical em x=\dfrac{\pi}{2}, portanto tende a \pm\infty (dependendo do lado).
  • A forma do limite é, portanto, do tipo 0\cdot\infty, que é uma indeterminação que pode ser tratada transformando em quociente e, quando possível, aplicando a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Identificar o tipo de indeterminação e preparar para aplicar L’Hôpital.
Primeiro note que
\pi-2x = 2\Big(\frac{\pi}{2}-x\Big).
Assim
(\pi-2x)\operatorname{tg}(x)=2\Big(\frac{\pi}{2}-x\Big)\operatorname{tg}(x).
A expressão original é um produto com um fator que vai para 0 e outro que diverge, ou seja, indeterminação do tipo 0\cdot\infty. Para aplicar a regra de L’Hôpital é conveniente transformar o produto em quociente. Uma forma natural é escrever
(\pi-2x)\operatorname{tg}(x)=\frac{\pi-2x}{\cot x},
pois \cot x=\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}. Agora observe os limites das partes:
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(\pi-2x)=0, \qquad \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\cot x=0.
Portanto temos uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0}, condição em que a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as derivadas existam nas proximidades do ponto).

Passo 3

Aplicar a regra de L’Hôpital: calcular as derivadas do numerador e do denominador e tomar o limite do quociente das derivadas.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}(\pi-2x) = -2.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}.
Pelo teorema de L’Hôpital, o limite original vale o limite do quociente das derivadas (quando este existir):
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\pi-2x}{\cot x} = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-2}{-\csc^2 x}.

Passo 4

Simplificar o quociente das derivadas e calcular o limite.
Simplificando,
\frac{-2}{-\csc^2 x} = \frac{-2}{-\dfrac{1}{\sin^2 x}} = 2\sin^2 x.
Portanto
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(\pi-2x)\operatorname{tg}(x) = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} 2\sin^2 x.
Como \sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1, segue
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} 2\sin^2 x = 2\cdot 1^2 = 2.

Passo 5

Verificação alternativa (intuitiva e útil para a prova): mudança de variável sem L’Hôpital.
Defina h=\dfrac{\pi}{2}-x. Quando x\to\dfrac{\pi}{2} tem-se h\to 0 e
(\pi-2x)\operatorname{tg}(x)=2h\operatorname{tg}\!\Big(\frac{\pi}{2}-h\Big)=2h\cot h.
Então
2h\cot h = 2h\frac{\cos h}{\sin h}=2\cos h\cdot\frac{h}{\sin h}.
Lembrando o limite notório \lim_{h\to 0}\dfrac{h}{\sin h}=1 e que \cos h\to 1, obtemos novamente
\lim_{h\to 0}2\cos h\cdot\frac{h}{\sin h}=2\cdot 1\cdot 1=2.
Essa verificação mostra também que o limite existe (o mesmo para aproximação por ambos os lados).

Resposta

2

Exercícios relacionados