Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\pi}{x} \frac{\operatorname{tg}(\pi x)}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\pi}{x}\,\frac{\operatorname{tg}(\pi x)}{2}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão contém a função tangente escrita como \operatorname{tg}(\cdot), que é a mesma função trigonométrica \tan(\cdot).
  • O ponto de interesse é x=0.
  • O enunciado solicita aplicar a regra de L’Hôpital quando possível.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a expressão de forma mais clara para identificar a forma indeterminada:
\frac{\pi}{x}\,\frac{\operatorname{tg}(\pi x)}{2}=\frac{\pi}{2}\,\frac{\operatorname{tg}(\pi x)}{x}.
Note que ao calcular o limite de \dfrac{\operatorname{tg}(\pi x)}{x} quando x\to 0 temos um quociente cujo numerador tende a \operatorname{tg}(0)=0 e cujo denominador tende a 0. Ou seja, a parte central é do tipo 0/0, que é uma forma indeterminada onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicável.

Passo 3

Breve aula sobre a regra de L’Hôpital (versão para a forma 0/0):
  • Se f e g são funções diferenciáveis num intervalo aberto ao redor de a (exceto possivelmente em a), e se \lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0,e ainda o limite \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}existe (ou é \pm\infty), então \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • É importante checar que há realmente a forma 0/0 (ou \infty/\infty) antes de aplicar a regra, e que g'(x) não seja 0 próximo de a de forma a invalidar a aplicação.
  • No nosso caso vamos aplicar a regra à razão f(x)/g(x)=\dfrac{\operatorname{tg}(\pi x)}{x}, com a=0.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital à razão \dfrac{\operatorname{tg}(\pi x)}{x}:
  • Definimos f(x)=\operatorname{tg}(\pi x) e g(x)=x.
  • Calculamos as derivadas: f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(\pi x)=\pi\operatorname{sec}^2(\pi x), \qquad g'(x)=\frac{d}{dx}x=1.(Aqui usei a regra da cadeia: a derivada de \tan(u) em relação a x é u'(x)\operatorname{sec}^2(u(x)).)
  • Pelo enunciado de L’Hôpital: \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}(\pi x)}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{\pi\operatorname{sec}^2(\pi x)}{1} =\pi\lim_{x\to 0}\operatorname{sec}^2(\pi x).

Passo 5

Avaliação do limite de \operatorname{sec}^2(\pi x) em x\to 0:
\operatorname{sec}^2(\pi x)=\frac{1}{\cos^2(\pi x)}.
Como \cos(0)=1, temos \cos^2(\pi\cdot 0)=1 e, portanto,
\lim_{x\to 0}\operatorname{sec}^2(\pi x)=1.
Logo
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}(\pi x)}{x}=\pi.

Passo 6

Retornando à expressão original, lembrando que ela vale \dfrac{\pi}{2} vezes a razão que acabamos de avaliar:
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\pi}{x}\,\frac{\operatorname{tg}(\pi x)}{2}\right) =\frac{\pi}{2}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}(\pi x)}{x} =\frac{\pi}{2}\cdot\pi=\frac{\pi^2}{2}.

Resposta

\dfrac{\pi^2}{2}

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