Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão contém a função tangente escrita como
, que é a mesma função trigonométrica . - O ponto de interesse é
. - O enunciado solicita aplicar a regra de L’Hôpital quando possível.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a expressão de forma mais clara para identificar a forma indeterminada:
Note que ao calcular o limite de
quando
temos um quociente cujo numerador tende a
e cujo denominador tende a
. Ou seja, a parte central é do tipo
, que é uma forma indeterminada onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicável.
Passo 3
Breve aula sobre a regra de L’Hôpital (versão para a forma
):
- Se
e são funções diferenciáveis num intervalo aberto ao redor de (exceto possivelmente em ), e se e ainda o limite existe (ou é ), então - É importante checar que há realmente a forma
(ou ) antes de aplicar a regra, e que não seja próximo de de forma a invalidar a aplicação. - No nosso caso vamos aplicar a regra à razão
, com .
Passo 4
Aplicando L’Hôpital à razão
:
- Definimos
e . - Calculamos as derivadas:
(Aqui usei a regra da cadeia: a derivada de em relação a é .) - Pelo enunciado de L’Hôpital:
Passo 5
Avaliação do limite de
em
:
Como
, temos
e, portanto,
Logo
Passo 6
Retornando à expressão original, lembrando que ela vale
vezes a razão que acabamos de avaliar: