Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é a diferença de duas frações trigonométricas:
e . - O ponto a que
tende é . - Sabendo trigonometria básica:
e .
Passo 2
Vamos juntar as duas frações numa única fração para ver o tipo de indeterminação (isso é necessário para verificar se a regra de L’Hôpital pode ser usada). Calculamos numerador e denominador comuns:
Definindo
avaliamos o comportamento em
:
Portanto a expressão dá a forma indeterminada
, o que permite (quando as derivadas existem numa vizinhança) aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
Breve explicação da regra de L’Hôpital (para lembrar e usar corretamente):
- Se temos
e a forma é ou , e se e são diferenciáveis numa vizinhança de (exceto possivelmente em ) e próximo de , então
desde que o limite à direita exista (ou seja
).
Aqui é
e
é
. Vamos aplicar L’Hôpital diferenciando
e
.
Aqui
Passo 4
Calculamos
. Primeiro reescrevemos
para derivar com calma:
Derivando termo a termo (lembrando:
e
pela regra da cadeia):
Podemos fatorar
:
Agora
. Lembrando que
, usamos a regra do produto: se
e
, então
. Temos
e
. Assim
Escrevendo de forma mais organizada:
Passo 5
Aplicando L’Hôpital:
Agora simplificamos a fração. Primeiro note que para
próximo de
podemos cancelar um fator
(a expressão das derivadas tem
comum; formalmente cancelamos porque estamos calculando limite e a igualdade das funções dos quocientes para
permite simplificar). Cancelando
obtemos
Agora use a identidade
para fatorar o denominador:
Somando
, então
sempre para
próximo de
e
. Agora tomamos o limite quando
:
Passo 6
Comentário didático curto (opcional para a prova): uma forma alternativa, sem L’Hôpital, é usar identidades trigonométricas desde o início. Por exemplo, usando
e
obtém-se diretamente
e o limite
. Ambas as vias (L’Hôpital ou identidades) levam ao mesmo resultado; para a questão pedida aplicou-se L’Hôpital após juntar em uma fração única.