Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2}{\operatorname{sen}^{2} x}-\frac{1}{1-\cos x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{2}{\sin^{2}x}-\frac{1}{1-\cos x}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é a diferença de duas frações trigonométricas: \dfrac{2}{\sin^{2}x} e \dfrac{1}{1-\cos x}.
  • O ponto a que x tende é x\to 0.
  • Sabendo trigonometria básica: \sin 0=0 e \cos 0=1.

Passo 2

Vamos juntar as duas frações numa única fração para ver o tipo de indeterminação (isso é necessário para verificar se a regra de L’Hôpital pode ser usada). Calculamos numerador e denominador comuns:
\frac{2}{\sin^{2}x}-\frac{1}{1-\cos x} =\frac{2(1-\cos x)-\sin^{2}x}{\sin^{2}x(1-\cos x)}.
Definindo
N(x)=2(1-\cos x)-\sin^{2}x \qquad\text{e}\qquad D(x)=\sin^{2}x(1-\cos x),
avaliamos o comportamento em x=0:
N(0)=2(1-\cos 0)-\sin^{2}0=2(1-1)-0=0, \qquad D(0)=\sin^{2}0(1-\cos 0)=0\cdot0=0.
Portanto a expressão dá a forma indeterminada \dfrac{0}{0}, o que permite (quando as derivadas existem numa vizinhança) aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Breve explicação da regra de L’Hôpital (para lembrar e usar corretamente):
  • Se temos \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} e a forma é \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}, e se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e g'(x)\neq 0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty).
Aqui f é N e g é D. Vamos aplicar L’Hôpital diferenciando N(x) e D(x).

Passo 4

Calculamos N'(x). Primeiro reescrevemos N(x) para derivar com calma:
N(x)=2-2\cos x-\sin^{2}x.
Derivando termo a termo (lembrando: \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x e \dfrac{d}{dx}\sin^{2}x=2\sin x\cos x pela regra da cadeia):
N'(x)= -2(-\sin x) - 2\sin x\cos x = 2\sin x - 2\sin x\cos x.
Podemos fatorar \sin x:
N'(x)=2\sin x(1-\cos x).
Agora D'(x). Lembrando que D(x)=\sin^{2}x\,(1-\cos x), usamos a regra do produto: se u=\sin^{2}x e v=1-\cos x, então D'=u'v+uv'. Temos u' = 2\sin x\cos x e v'=\sin x. Assim
D'(x)=2\sin x\cos x(1-\cos x)+\sin^{2}x\cdot\sin x.
Escrevendo de forma mais organizada:
D'(x)=2\sin x\cos x(1-\cos x)+\sin^{3}x.

Passo 5

Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to 0}\frac{N(x)}{D(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{N'(x)}{D'(x)} =\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x(1-\cos x)}{2\sin x\cos x(1-\cos x)+\sin^{3}x}.
Agora simplificamos a fração. Primeiro note que para x próximo de 0 podemos cancelar um fator \sin x (a expressão das derivadas tem \sin x comum; formalmente cancelamos porque estamos calculando limite e a igualdade das funções dos quocientes para x\neq 0 permite simplificar). Cancelando \sin x obtemos
\frac{N'(x)}{D'(x)}=\frac{2(1-\cos x)}{2\cos x(1-\cos x)+\sin^{2}x}.
Agora use a identidade \sin^{2}x=1-\cos^{2}x=(1-\cos x)(1+\cos x) para fatorar o denominador:
2\cos x(1-\cos x)+\sin^{2}x=(1-\cos x)\bigl(2\cos x+(1+\cos x)\bigr).
Somando 2\cos x+(1+\cos x)=3\cos x+1, então
\frac{N'(x)}{D'(x)}=\frac{2(1-\cos x)}{(1-\cos x)(3\cos x+1)}=\frac{2}{3\cos x+1},
sempre para x próximo de 0 e x\neq 0. Agora tomamos o limite quando x\to 0:
\lim_{x\to 0}\frac{2}{3\cos x+1}=\frac{2}{3\cos 0+1}=\frac{2}{3\cdot 1+1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Comentário didático curto (opcional para a prova): uma forma alternativa, sem L’Hôpital, é usar identidades trigonométricas desde o início. Por exemplo, usando 1-\cos x=2\sin^{2}\!\tfrac{x}{2} e \sin^{2}x=4\sin^{2}\!\tfrac{x}{2}\cos^{2}\!\tfrac{x}{2} obtém-se diretamente
\frac{2}{\sin^{2}x}-\frac{1}{1-\cos x}=\frac{1}{2\cos^{2}\!\tfrac{x}{2}}
e o limite \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{2\cos^{2}\!\tfrac{x}{2}}=\dfrac{1}{2}. Ambas as vias (L’Hôpital ou identidades) levam ao mesmo resultado; para a questão pedida aplicou-se L’Hôpital após juntar em uma fração única.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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