Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{3}-\frac{x-2}{\operatorname{tg}(x-2)}-\cos (x-2)\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas: calcular
\lim_{x\to 2}\left(x^{3}-\frac{x-2}{\operatorname{tg}(x-2)}-\cos(x-2)\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • À medida que x\to 2 define-se h=x-2, então h\to 0.
  • As três parcelas da expressão são x^{3}, \dfrac{x-2}{\operatorname{tg}(x-2)} e \cos(x-2).
  • Avaliando por substituição direta: x^{3}\to 8, \dfrac{x-2}{\operatorname{tg}(x-2)} tem a forma \dfrac{0}{0} quando x\to 2 (pois \operatorname{tg}(0)=0), e \cos(x-2)\to 1.
  • O enunciado pede o valor numérico do limite total; para isso será preciso calcular com cuidado o limite da segunda parcela e então somar/subtrair os resultados.

Passo 2

Preparação: trocar para a variável pequena h para tornar mais claro o comportamento perto do ponto.
Faça h=x-2. Então o limite fica
\lim_{h\to 0}\left((2+h)^{3}-\frac{h}{\operatorname{tg}h}-\cos h\right).
É conveniente tratar cada termo separadamente e usar propriedades de limites (se os limites das parcelas existem, o limite da soma/diferença é a soma/diferença dos limites).

Passo 3

Calcular \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{h}{\operatorname{tg}h} usando a regra de L’Hôpital (pois temos forma indeterminada \tfrac{0}{0}).
Breve explicação da regra de L’Hôpital (em palavras simples): quando \lim_{h\to 0} \frac{f(h)}{g(h)} 0/0 ou \infty/\infty, e f e g são diferenciáveis perto do ponto (com g' não nula perto), então
\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{g(h)}=\lim_{h\to 0}\frac{f'(h)}{g'(h)}
desde que o limite à direita exista ou seja \pm\infty.
Aqui f(h)=h e g(h)=\tan h. Calculando derivadas:
f'(h)=1,\qquad g'(h)=\frac{d}{dh}\tan h=\operatorname{sec}^{2}h.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{h\to 0}\frac{h}{\tan h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}h}.
Agora avaliar o limite à direita: \operatorname{sec}^{2}h=\dfrac{1}{\cos^{2}h}, e \cos 0=1, logo \operatorname{sec}^{2}0=1. Portanto
\lim_{h\to 0}\frac{h}{\tan h}=\frac{1}{1}=1.
Observação extra (opcional): outra maneira comum é usar a série ou o limite padrão \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1; escrevendo \dfrac{h}{\tan h}=\dfrac{h\cos h}{\sin h} e usando \dfrac{\sin h}{h}\to 1 e \cos h\to 1 também dá 1.

Passo 4

Calcular os limites das demais parcelas, por continuidade:
  • \displaystyle \lim_{h\to 0}(2+h)^{3}=(2+0)^{3}=8, pois polinômios são contínuos.
  • \displaystyle \lim_{h\to 0}\cos h=\cos 0=1, pois o cosseno é contínuo.
Já temos do Passo 3 que \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{h}{\tan h}=1.

Passo 5

Combinar os limites usando a propriedade de soma/diferença de limites (válida porque cada limite existente é finito):
\lim_{h\to 0}\left((2+h)^{3}-\frac{h}{\tan h}-\cos h\right) = \lim_{h\to 0}(2+h)^{3} - \lim_{h\to 0}\frac{h}{\tan h} - \lim_{h\to 0}\cos h.
Substituindo os valores encontrados:
= 8 - 1 - 1 = 6.

Resposta

6

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