Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas: calcular
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- À medida que
define-se , então . - As três parcelas da expressão são
, e . - Avaliando por substituição direta:
, tem a forma quando (pois ), e . - O enunciado pede o valor numérico do limite total; para isso será preciso calcular com cuidado o limite da segunda parcela e então somar/subtrair os resultados.
Passo 2
Preparação: trocar para a variável pequena
para tornar mais claro o comportamento perto do ponto.
Faça . Então o limite fica
Faça
É conveniente tratar cada termo separadamente e usar propriedades de limites (se os limites das parcelas existem, o limite da soma/diferença é a soma/diferença dos limites).
Passo 3
Calcular
usando a regra de L’Hôpital (pois temos forma indeterminada
).
Breve explicação da regra de L’Hôpital (em palavras simples): quando
dá
ou
, e
e
são diferenciáveis perto do ponto (com
não nula perto), então
desde que o limite à direita exista ou seja
.
Aqui
e
. Calculando derivadas:
Aplicando L’Hôpital:
Agora avaliar o limite à direita:
, e
, logo
. Portanto
Observação extra (opcional): outra maneira comum é usar a série ou o limite padrão
; escrevendo
e usando
e
também dá
.
Passo 4
Calcular os limites das demais parcelas, por continuidade:
-
, pois polinômios são contínuos. -
, pois o cosseno é contínuo.
Já temos do Passo 3 que
.
Passo 5
Combinar os limites usando a propriedade de soma/diferença de limites (válida porque cada limite existente é finito):
Substituindo os valores encontrados: