Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname{sen}^{2} x}{3 \operatorname{tg}^{3} x \cos x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{x\operatorname{sen}^{2}x}{3\operatorname{tg}^{3}x\cos x}.
Informações dadas (apenas o que o enunciado fornece):
  • A função que aparece no limite é \dfrac{x\operatorname{sen}^{2}x}{3\operatorname{tg}^{3}x\cos x}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
O pedido é calcular esse limite. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Testar substituição direta para verificar a forma indeterminada. Ao substituir x=0:
\text{numerador }= x\operatorname{sen}^{2}x\Big|_{x=0}=0\cdot\operatorname{sen}^{2}0=0,
\text{denominador }=3\operatorname{tg}^{3}x\cos x\Big|_{x=0}=3\cdot\operatorname{tg}^{3}0\cdot\cos0=3\cdot0\cdot1=0.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0, condição em que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (se as funções forem diferenciáveis num vizinho de 0, o que é verdadeiro aqui).

Passo 3

Breve lembrete da Regra de L’Hôpital (útil para a prova): se \lim_{x\to a}f(x)=0 e \lim_{x\to a}g(x)=0 e f,g são diferenciáveis num intervalo aberto em torno de a (exceto possivelmente em a), então, se existir \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}, vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Vou aplicar a regra uma vez (porque a forma era 0/0) e calcular f' e g' com cuidado, explicando as regras de derivação usadas.

Passo 4

Calcular a derivada do numerador f(x)=x\operatorname{sen}^{2}x.
Usar a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
Aqui u(x)=x e v(x)=\operatorname{sen}^{2}x.
  • u'(x)=1.
  • Para v'(x) usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}^{2}x = 2\operatorname{sen} x\cdot\cos x (porque (\sin x)^2’ = 2\sin x \cdot (\sin x)' e (\sin x)'=\cos x).
Logo
f'(x)=1\cdot\operatorname{sen}^{2}x + x\cdot 2\operatorname{sen} x\cos x = \operatorname{sen}^{2}x + 2x\operatorname{sen} x\cos x.

Passo 5

Calcular a derivada do denominador g(x)=3\operatorname{tg}^{3}x\cos x.
Novamente regra do produto, com um fator constante 3. Escrevemos g(x)=3\cdot h(x) onde h(x)=\operatorname{tg}^{3}x\cos x. Então g'(x)=3h'(x).
Para h'(x) use a regra do produto com p(x)=\operatorname{tg}^{3}x e q(x)=\cos x.
  • q'(x)=(\cos x)'=-\operatorname{sen} x.
  • Para p'(x) usamos a cadeia: \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}^{3}x = 3\operatorname{tg}^{2}x\cdot (\operatorname{tg} x)'. E (\operatorname{tg} x)'=\operatorname{sec}^{2}x. Assim p'(x)=3\operatorname{tg}^{2}x\operatorname{sec}^{2}x.
Então
h'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x)=3\operatorname{tg}^{2}x\operatorname{sec}^{2}x\cos x + \operatorname{tg}^{3}x(-\operatorname{sen} x).
Multiplicando por 3,
g'(x)=3h'(x)=9\operatorname{tg}^{2}x\operatorname{sec}^{2}x\cos x - 3\operatorname{tg}^{3}x\operatorname{sen} x.
Agora simplificamos a expressão \operatorname{sec}^{2}x\cos x. Lembrando \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, temos \operatorname{sec}^{2}x\cos x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\cdot\cos x=\dfrac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x. Assim:
g'(x)=9\operatorname{tg}^{2}x\operatorname{sec} x - 3\operatorname{tg}^{3}x\operatorname{sen} x.

Passo 6

Pelo L’Hôpital, o limite original é igual (se existir) a
\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}^{2}x + 2x\operatorname{sen} x\cos x}{9\operatorname{tg}^{2}x\operatorname{sec} x - 3\operatorname{tg}^{3}x\operatorname{sen} x}.
Antes de tentar nova aplicação de L’Hôpital, é mais prático reescrever a expressão original de forma a usar os limites trigonométricos fundamentais \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=1 e \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{tg} x}{x}=1. Vou fazer essa reescrita porque é muito eficiente na prova e evita derivadas repetidas.
Escreve-se \operatorname{sen} x = x\cdot\dfrac{\operatorname{sen} x}{x} e \operatorname{tg} x = x\cdot\dfrac{\operatorname{tg} x}{x}. Assim:
x\operatorname{sen}^{2}x = x\bigl(x^{2}\bigl(\tfrac{\operatorname{sen} x}{x}\bigr)^{2}\bigr)=x^{3}\bigl(\tfrac{\operatorname{sen} x}{x}\bigr)^{2},
\operatorname{tg}^{3}x\cos x = \bigl(x^{3}\bigl(\tfrac{\operatorname{tg} x}{x}\bigr)^{3}\bigr)\cos x.
Substituindo na expressão original e simplificando o fator x^{3}:
\frac{x\operatorname{sen}^{2}x}{3\operatorname{tg}^{3}x\cos x} = \frac{x^{3}\bigl(\tfrac{\operatorname{sen} x}{x}\bigr)^{2}}{3x^{3}\bigl(\tfrac{\operatorname{tg} x}{x}\bigr)^{3}\cos x} = \frac{\bigl(\tfrac{\operatorname{sen} x}{x}\bigr)^{2}}{3\bigl(\tfrac{\operatorname{tg} x}{x}\bigr)^{3}\cos x}.
Agora tomamos limite x\to 0. Usamos os limites conhecidos:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to 0}\cos x=1.
Aplicando estes limites no numerador e denominador:
\lim_{x\to 0}\frac{\bigl(\tfrac{\operatorname{sen} x}{x}\bigr)^{2}}{3\bigl(\tfrac{\operatorname{tg} x}{x}\bigr)^{3}\cos x} =\frac{1^{2}}{3\cdot 1^{3}\cdot 1}=\frac{1}{3}.
Observação sobre a aplicação de L’Hôpital: já que a forma inicial era 0/0, foi legítimo aplicar L’Hôpital. Depois de uma aplicação explicitando f' e g' (Passos 4–5), verificamos que o caminho mais simples é usar a fatoração em potências de x e os limites padrão \operatorname{sen} x / x e \operatorname{tg} x / x; ambos caminhos dão o mesmo resultado final.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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