Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname{sen}^{2} x}{3 \operatorname{tg}^{3} x \cos x}
Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0, condição em que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (se as funções forem diferenciáveis num vizinho de 0, o que é verdadeiro aqui).
Passo 3
Breve lembrete da Regra de L’Hôpital (útil para a prova): se \lim_{x\to a}f(x)=0 e \lim_{x\to a}g(x)=0 e f,g são diferenciáveis num intervalo aberto em torno de a (exceto possivelmente em a), então, se existir \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}, vale
Vou aplicar a regra uma vez (porque a forma era 0/0) e calcular f' e g' com cuidado, explicando as regras de derivação usadas.
Passo 4
Calcular a derivada do numerador f(x)=x\operatorname{sen}^{2}x.
Usar a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
Aqui u(x)=x e v(x)=\operatorname{sen}^{2}x.
u'(x)=1.
Para v'(x) usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}^{2}x = 2\operatorname{sen} x\cdot\cos x (porque (\sin x)^2’ = 2\sin x \cdot (\sin x)' e (\sin x)'=\cos x).
Calcular a derivada do denominador g(x)=3\operatorname{tg}^{3}x\cos x.
Novamente regra do produto, com um fator constante 3. Escrevemos g(x)=3\cdot h(x) onde h(x)=\operatorname{tg}^{3}x\cos x. Então g'(x)=3h'(x).
Para h'(x) use a regra do produto com p(x)=\operatorname{tg}^{3}x e q(x)=\cos x.
q'(x)=(\cos x)'=-\operatorname{sen} x.
Para p'(x) usamos a cadeia: \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}^{3}x = 3\operatorname{tg}^{2}x\cdot (\operatorname{tg} x)'. E (\operatorname{tg} x)'=\operatorname{sec}^{2}x. Assim p'(x)=3\operatorname{tg}^{2}x\operatorname{sec}^{2}x.
Então
h'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x)=3\operatorname{tg}^{2}x\operatorname{sec}^{2}x\cos x + \operatorname{tg}^{3}x(-\operatorname{sen} x).
Multiplicando por 3,
g'(x)=3h'(x)=9\operatorname{tg}^{2}x\operatorname{sec}^{2}x\cos x - 3\operatorname{tg}^{3}x\operatorname{sen} x.
Antes de tentar nova aplicação de L’Hôpital, é mais prático reescrever a expressão original de forma a usar os limites trigonométricos fundamentais \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=1 e \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{tg} x}{x}=1. Vou fazer essa reescrita porque é muito eficiente na prova e evita derivadas repetidas.
Escreve-se \operatorname{sen} x = x\cdot\dfrac{\operatorname{sen} x}{x} e \operatorname{tg} x = x\cdot\dfrac{\operatorname{tg} x}{x}. Assim:
Observação sobre a aplicação de L’Hôpital: já que a forma inicial era 0/0, foi legítimo aplicar L’Hôpital. Depois de uma aplicação explicitando f' e g' (Passos 4–5), verificamos que o caminho mais simples é usar a fatoração em potências de x e os limites padrão \operatorname{sen} x / x e \operatorname{tg} x / x; ambos caminhos dão o mesmo resultado final.