Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações importantes que o enunciado dá:
- Quando
temos e , portanto . - Quando
temos . - Assim a expressão tem a forma indeterminada do tipo
.
O que nos pedem é o valor numérico do limite quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 2
Estratégia: para potências com base tendendo a
e expoente tendendo a
é clássico tomar o logaritmo natural da expressão para transformar a potência num produto, analisar o limite do logaritmo e depois exponentiar o resultado. Então defino
Tomando logaritmo natural:
Agora vou calcular o limite de
quando
. Se
, então
.
Passo 3
Analisando
: quando
temos
e
. Portanto
é do tipo
, indeterminação. Para aplicar a regra de L’Hôpital escrevo esse produto como quociente:
Agora verifique os limites das partes quando
:
-
. -
(já que ).
Então temos a formae podemos aplicar L’Hôpital (condição satisfeita).
Lembrete rápido da regra de L’Hôpital (em palavras): se
e
(ou ambos
) e ambas são diferenciáveis, então
quando esse último limite existir.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital ao quociente
calculo as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador:
porque a derivada de
é
e
tem
.
Derivada do denominador:
(Usei a regra da cadeia:
’ =
.)
Assim, pelo L’Hôpital,
Passo 5
Agora analiso o produto
Quando
temos
. Então o limite será
vezes o limite de
. Resta mostrar que
Para justificar isso de forma rigorosa (usando L’Hôpital também), escrevo
que é da forma
. Aplicando L’Hôpital ao quociente:
derivada do numerador ,
derivada do denominador .
O quociente das derivadas é
derivada do numerador
derivada do denominador
O quociente das derivadas é
Portanto
Mas é conhecido (ou se quiser, aplica-se L’Hôpital mais uma vez a
) que
logo
. Assim
Com isso voltamos ao produto:
e
, logo
Passo 6
Se
, então
Interpretação rápida e intuitiva: a base tende a
e o expoente tende a
, mas a diferença da base para
é da ordem de
e isso compensa o crescimento em módulo de
, fazendo com que o produto do expoente por
ln(base)
tenda a
, levando a potência a
.