Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas (extraídas do enunciado):
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - O ponto de interesse é
.
As perguntas implícitas: determinar o valor do limite, verificando se há uma forma indeterminada e, se for o caso, aplicar a regra de L’Hôpital quando possível.
Passo 2
Primeiro vamos verificar a substituição direta para ver que tipo de forma obtemos ao pôr
.
Calculemos os valores das funções no ponto:
Substituindo na expressão original:
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso abre a possibilidade de usar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
Lembrete prático da regra de L’Hôpital (em linguagem simples): se ao avaliar um limite do tipo
quando
obtemos
ou
, e se
e
são diferenciáveis num entorno de
(exceto possivelmente em
) e
não é identicamente zero no entorno, então
quando o limite do lado direito existir (ou for
). Aqui
e
. Ambas são diferenciáveis perto de
(não há problema de continuidade ou derivabilidade em
), então podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
.
Derivada do numerador
:
Aqui usei a fórmula básica:
, e
, então
.
Derivada do denominador
:
Aqui usei
.
Passo 5
Pela regra de L’Hôpital, o limite original é igual ao limite das derivadas ratio (quando existir):
Os sinais negativos se cancelam, ficando
Passo 6
Simplificamos a expressão antes de avaliar:
Agora avaliamos em
. Primeiro calcule
:
Portanto
Substituindo em
:
Passo 7
Conclusão: o limite existe e vale
. Pequeno incentivo: deu trabalho, mas usando L’Hôpital de forma direta e cuidando das derivadas de tangente e seno chegamos ao número simples
. Confere bem se fizer os passos de derivação na prova.