Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{1-\operatorname{tg} x}{1-\sqrt{2} \operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{1-\operatorname{tg} x}{1-\sqrt{2}\,\operatorname{sen} x}.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • A função no numerador é 1-\operatorname{tg} x.
  • A função no denominador é 1-\sqrt{2}\,\operatorname{sen} x.
  • O ponto de interesse é x=\dfrac{\pi}{4}.
As perguntas implícitas: determinar o valor do limite, verificando se há uma forma indeterminada e, se for o caso, aplicar a regra de L’Hôpital quando possível.

Passo 2

Primeiro vamos verificar a substituição direta para ver que tipo de forma obtemos ao pôr x=\dfrac{\pi}{4}.
Calculemos os valores das funções no ponto:
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1, \qquad \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Substituindo na expressão original:
\text{numerador} = 1 - \operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1-1 = 0,
\text{denominador} = 1 - \sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 - \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{2}{2} = 0.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. Isso abre a possibilidade de usar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Lembrete prático da regra de L’Hôpital (em linguagem simples): se ao avaliar um limite do tipo
\frac{f(x)}{g(x)}
quando x\to a obtemos 0/0 ou \infty/\infty, e se f e g são diferenciáveis num entorno de a (exceto possivelmente em a) e g'(x) não é identicamente zero no entorno, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
quando o limite do lado direito existir (ou for \pm\infty). Aqui f(x)=1-\operatorname{tg} x e g(x)=1-\sqrt{2}\,\operatorname{sen} x. Ambas são diferenciáveis perto de x=\dfrac{\pi}{4} (não há problema de continuidade ou derivabilidade em \pi/4), então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de f e g.
Derivada do numerador f(x)=1-\operatorname{tg} x:
f'(x)= -\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg} x\big) = -\operatorname{sec}^{2}x.
Aqui usei a fórmula básica: \dfrac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x, e \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x}, então \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}.
Derivada do denominador g(x)=1-\sqrt{2}\,\operatorname{sen} x:
g'(x)= -\sqrt{2}\,\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big) = -\sqrt{2}\,\cos x.
Aqui usei \dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x.

Passo 5

Pela regra de L’Hôpital, o limite original é igual ao limite das derivadas ratio (quando existir):
\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{1-\operatorname{tg} x}{1-\sqrt{2}\,\operatorname{sen} x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-\operatorname{sec}^{2}x}{-\sqrt{2}\,\cos x}.
Os sinais negativos se cancelam, ficando
\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\sqrt{2}\,\cos x}.

Passo 6

Simplificamos a expressão antes de avaliar:
\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\sqrt{2}\,\cos x} = \frac{1/\cos^{2}x}{\sqrt{2}\,\cos x} = \frac{1}{\sqrt{2}\,\cos^{3}x}.
Agora avaliamos em x=\dfrac{\pi}{4}. Primeiro calcule \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right):
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
\cos^{3}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3} = \frac{(\sqrt{2})^{3}}{8} = \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4}.
Substituindo em \dfrac{1}{\sqrt{2}\,\cos^{3}x}:
\frac{1}{\sqrt{2}\,\cos^{3}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{1}{\frac{2}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2.

Passo 7

Conclusão: o limite existe e vale 2. Pequeno incentivo: deu trabalho, mas usando L’Hôpital de forma direta e cuidando das derivadas de tangente e seno chegamos ao número simples 2. Confere bem se fizer os passos de derivação na prova.

Resposta

2

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