Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x \operatorname{tg}(x)}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular o limite quando x \to 0 da expressão
\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x\operatorname{tg}(x)}.
  • Informações relevantes que o enunciado dá:
    • A expressão envolve x, funções trigonométricas \operatorname{tg}(x) (que é \tan(x)) e potências de x.
    • O ponto de interesse é x=0, onde aparecem potenciais indeterminações (divisões por zero).
  • Objetivo: transformar a expressão de maneira a avaliar o limite, usando a regra de L’Hôpital quando ela for aplicável.

Passo 2

Primeiro, simplificar a expressão para uma única fração. Lembrando que \operatorname{tg}(x)=\tan(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}, temos
\frac{1}{x\operatorname{tg}(x)}=\frac{1}{x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{\cos x}{x\sin x}.
Então a diferença é
\frac{1}{x^{2}}-\frac{\cos x}{x\sin x}.
Vamos colocar em um denominador comum x^{2}\sin x. O primeiro termo fica
\frac{1}{x^{2}}=\frac{\sin x}{x^{2}\sin x},
o segundo termo fica
\frac{\cos x}{x\sin x}=\frac{x\cos x}{x^{2}\sin x}.
Subtraindo,
\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x\operatorname{tg}(x)}=\frac{\sin x - x\cos x}{x^{2}\sin x}.

Passo 3

Agora avaliamos a forma da indeterminação: ao substituir x=0,
\sin x - x\cos x \to 0 - 0\cdot 1 = 0, \qquad x^{2}\sin x \to 0.
Temos uma forma 0/0, então a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (a regra diz que, se \lim_{x\to a} N(x)=0 e \lim_{x\to a} D(x)=0 e N,D são diferenciáveis perto de a com D'(x)\neq0 próximo de a, então \lim N/D=\lim N'/D' quando esse último limite existir). Vamos aplicar L’Hôpital ao quociente
\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{\sin x - x\cos x}{x^{2}\sin x}.

Passo 4

Calcular as derivadas do numerador e do denominador (passo a passo).
  • Numerador N(x)=\sin x - x\cos x.
    • Derivada de \sin x é \cos x.
    • Derivada de x\cos x usa regra do produto: (x\cos x)'=1\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x)=\cos x - x\sin x.
    • Logo
    N'(x)=\cos x - (\cos x - x\sin x)=x\sin x.
  • Denominador D(x)=x^{2}\sin x.
    • Derivada pela regra do produto: (x^{2})' \sin x + x^{2}(\sin x)'.
    • (x^{2})'=2x e (\sin x)'=\cos x.
    • Logo
    D'(x)=2x\sin x + x^{2}\cos x.
Pela regra de L’Hôpital, o limite original é igual (se existir) a
\lim_{x\to 0}\frac{N'(x)}{D'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x\sin x}{2x\sin x + x^{2}\cos x}.
Podemos simplificar cancelando um fator x (válido para x\neq0):
\frac{x\sin x}{2x\sin x + x^{2}\cos x}=\frac{\sin x}{2\sin x + x\cos x}.

Passo 5

Avaliar a nova forma: ao substituir x=0,
\sin x \to 0,\qquad 2\sin x + x\cos x \to 0,
novamente dá 0/0. Portanto aplicamos L’Hôpital mais uma vez ao quociente
\frac{\sin x}{2\sin x + x\cos x}.
Derivadas de cada peça:
  • Numerador =\sin x tem derivada \cos x.
  • Denominador =2\sin x + x\cos x.
    • Derivada de 2\sin x é 2\cos x.
    • Derivada de x\cos x é, pela regra do produto, \cos x - x\sin x.
    • Somando:
    (2\sin x + x\cos x)'=2\cos x + (\cos x - x\sin x)=3\cos x - x\sin x.
Pela regra de L’Hôpital novamente,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2\sin x + x\cos x} =\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{3\cos x - x\sin x}.
Agora basta substituir x=0:
\cos 0 = 1,\qquad 3\cos 0 - 0\cdot\sin 0 = 3\cdot 1 - 0 = 3,
portanto o limite vale
\frac{1}{3}.

Passo 6

Comentário didático rápido (checagem alternativa): usando séries de Taylor pequenas dá
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6}+\cdots,\qquad \cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2}+\cdots,
então
\sin x - x\cos x = \Big(x - \frac{x^{3}}{6}+\cdots\Big) - x\Big(1-\frac{x^{2}}{2}+\cdots\Big)=\frac{x^{3}}{3}+\cdots,
e o denominador x^{2}\sin x\sim x^{3}. Assim a razão tende também a 1/3, confirmando o resultado obtido por L’Hôpital.

Resposta

\frac{1}{3}

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