Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular o limite quando
da expressão
- Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão envolve
, funções trigonométricas (que é ) e potências de . - O ponto de interesse é
, onde aparecem potenciais indeterminações (divisões por zero).
- A expressão envolve
- Objetivo: transformar a expressão de maneira a avaliar o limite, usando a regra de L’Hôpital quando ela for aplicável.
Passo 2
Primeiro, simplificar a expressão para uma única fração. Lembrando que
, temos
Então a diferença é
Vamos colocar em um denominador comum
. O primeiro termo fica
o segundo termo fica
Subtraindo,
Passo 3
Agora avaliamos a forma da indeterminação: ao substituir
,
Temos uma forma
, então a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (a regra diz que, se
e
e
são diferenciáveis perto de
com
próximo de
, então
quando esse último limite existir). Vamos aplicar L’Hôpital ao quociente
Passo 4
Calcular as derivadas do numerador e do denominador (passo a passo).
-
Numerador
. - Derivada de
é . - Derivada de
usa regra do produto: . - Logo
- Derivada de
-
Denominador
. - Derivada pela regra do produto:
. -
e . - Logo
- Derivada pela regra do produto:
Pela regra de L’Hôpital, o limite original é igual (se existir) a
Podemos simplificar cancelando um fator
(válido para
):
Passo 5
Avaliar a nova forma: ao substituir
,
novamente dá
. Portanto aplicamos L’Hôpital mais uma vez ao quociente
Derivadas de cada peça:
- Numerador
tem derivada . - Denominador
. - Derivada de
é . - Derivada de
é, pela regra do produto, . - Somando:
- Derivada de
Pela regra de L’Hôpital novamente,
Agora basta substituir
:
portanto o limite vale
Passo 6
Comentário didático rápido (checagem alternativa): usando séries de Taylor pequenas dá
então
e o denominador
. Assim a razão tende também a
, confirmando o resultado obtido por L’Hôpital.