Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
da expressão
Informações dadas:
- A expressão envolve funções racionais em
e a exponencial . - O ponto de interesse é
. - A tarefa exige, quando possível, aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro vou juntar os dois termos num único quociente, para ficar mais claro o tipo de indeterminação. Fatorando
obtemos
Agora calculo a diferença dentro do parêntese usando um denominador comum:
Logo a expressão toda fica
Agora observe o tipo de indeterminação ao aproximar
:
-
, -
,
ou seja, temos uma forma. Portanto podemos aplicar a regra de L’Hôpital ao quociente
Passo 3
Breve explicação da regra de L’Hôpital (para lembrar): se temos um limite
com forma indeterminada
(ou
) e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), então
desde que o limite do lado direito exista (ou seja
). Aqui
e
são diferenciáveis, e temos forma
, logo podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Calculo as derivadas de
e
:
-
- Para
uso a regra do produto:
Aplicando L’Hôpital ao quociente, obtemos
Agora avalio no ponto
:
Portanto o limite do quociente é
.
Passo 5
Retorno ao fator que ficou fora: a expressão original era
Como o segundo fator tem limite
, o limite total é