Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\pi}{4 x}-\frac{\pi}{2 x\left(e^{\pi x}+1\right)}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x\to 0 da expressão
\frac{\pi}{4 x}-\frac{\pi}{2 x\left(e^{\pi x}+1\right)}.
Informações dadas:
  • A expressão envolve funções racionais em x e a exponencial e^{\pi x}.
  • O ponto de interesse é x=0.
  • A tarefa exige, quando possível, aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro vou juntar os dois termos num único quociente, para ficar mais claro o tipo de indeterminação. Fatorando \dfrac{\pi}{x} obtemos
\frac{\pi}{4 x}-\frac{\pi}{2 x\left(e^{\pi x}+1\right)} = \frac{\pi}{x}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2\left(e^{\pi x}+1\right)}\right).
Agora calculo a diferença dentro do parêntese usando um denominador comum:
\frac{1}{4}-\frac{1}{2\left(e^{\pi x}+1\right)} = \frac{e^{\pi x}-1}{4\left(e^{\pi x}+1\right)}.
Logo a expressão toda fica
\frac{\pi}{x}\cdot\frac{e^{\pi x}-1}{4\left(e^{\pi x}+1\right)} = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{e^{\pi x}-1}{x\left(e^{\pi x}+1\right)}.
Agora observe o tipo de indeterminação ao aproximar x\to 0:
  • e^{\pi x}-1 \to 0,
  • x\left(e^{\pi x}+1\right)\to 0,
    ou seja, temos uma forma \dfrac{0}{0}. Portanto podemos aplicar a regra de L’Hôpital ao quociente
\frac{e^{\pi x}-1}{x\left(e^{\pi x}+1\right)}.

Passo 3

Breve explicação da regra de L’Hôpital (para lembrar): se temos um limite \displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} com forma indeterminada \dfrac{0}{0} (ou \dfrac{\infty}{\infty}) e f,g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do lado direito exista (ou seja \pm\infty). Aqui f(x)=e^{\pi x}-1 e g(x)=x\left(e^{\pi x}+1\right) são diferenciáveis, e temos forma \dfrac{0}{0}, logo podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Calculo as derivadas de f e g:
  • f'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(e^{\pi x}-1\big)=\pi e^{\pi x}.
  • Para g(x)=x\big(e^{\pi x}+1\big) uso a regra do produto:
g'(x)=1\cdot\big(e^{\pi x}+1\big)+x\cdot\big(\pi e^{\pi x}\big) = e^{\pi x}+1+\pi x e^{\pi x}.
Aplicando L’Hôpital ao quociente, obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{e^{\pi x}-1}{x\left(e^{\pi x}+1\right)} = \lim_{x\to 0}\frac{\pi e^{\pi x}}{e^{\pi x}+1+\pi x e^{\pi x}}.
Agora avalio no ponto x=0:
\text{numerador} \to \pi e^{0}=\pi,\qquad \text{denominador} \to e^{0}+1+\pi\cdot 0\cdot e^{0}=1+1+0=2.
Portanto o limite do quociente é \dfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Retorno ao fator que ficou fora: a expressão original era
\frac{\pi}{4}\cdot\frac{e^{\pi x}-1}{x\left(e^{\pi x}+1\right)}.
Como o segundo fator tem limite \dfrac{\pi}{2}, o limite total é
\frac{\pi}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi^{2}}{8}.

Resposta

\dfrac{\pi^{2}}{8}

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