Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a zero:
Informações dadas:
- A expressão é
. - O ponto onde se avalia o limite é
.
Passo 2
Breve lembrete (útil para aplicar a regra de L’Hôpital): a regra de L’Hôpital diz que, se duas funções
e
são diferenciáveis num vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e temos uma indeterminação do tipo
ou
ao calcular
, então, quando existir o limite das derivadas,
Aqui
e
são as derivadas de
e
. Usaremos isso quando conseguirmos escrever a expressão como uma fração numa forma
ou
.
Passo 3
Primeiro unimos a diferença em uma única fração, para obter uma forma onde possamos tentar aplicar L’Hôpital:
Agora observamos o comportamento em
:
-
e portanto . - Assim
e .
Logo temos uma indeterminação do tipo, e podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital uma vez, derivamos numerador e denominador:
Derivada do numerador :
Derivada do numerador
Derivada do denominador
(produto):
Portanto, após a primeira aplicação,
Ainda temos indeterminação
porque ao ir a
numerador e denominador vão a
. Então aplicamos L’Hôpital de novo.
Passo 5
Derivamos de novo numerador e denominador.
Numerador
. Derivada:
pois
.
Denominador
.
Usamos a regra do produto: .
A derivada interna é
Usamos a regra do produto:
A derivada interna é
ou seja
Portanto
Assim, após a segunda aplicação de L’Hôpital,
Passo 6
Agora simplificamos a expressão usando uma identidade trigonométrica útil:
Substituindo:
Dividindo numerador e denominador por
(válido para
) obtemos
Agora usamos limites clássicos quando
:
Então
e
Portanto o denominador da fração acima tende a
. Logo o limite vale