Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\operatorname{sen}^{2} x}-\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{\operatorname{sen}^{2} x}-\frac{1}{x^{2}}\right).
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{1}{\operatorname{sen}^{2}x}-\dfrac{1}{x^{2}}.
  • O ponto onde se avalia o limite é x\to 0.

Passo 2

Breve lembrete (útil para aplicar a regra de L’Hôpital): a regra de L’Hôpital diz que, se duas funções f(x) e g(x) são diferenciáveis num vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e temos uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty} ao calcular \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}, então, quando existir o limite das derivadas,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f' e g' são as derivadas de f e g. Usaremos isso quando conseguirmos escrever a expressão como uma fração numa forma 0/0 ou \infty/\infty.

Passo 3

Primeiro unimos a diferença em uma única fração, para obter uma forma onde possamos tentar aplicar L’Hôpital:
\frac{1}{\operatorname{sen}^{2}x}-\frac{1}{x^{2}} =\frac{x^{2}-\operatorname{sen}^{2}x}{x^{2}\operatorname{sen}^{2}x}.
Agora observamos o comportamento em x\to 0:
  • \operatorname{sen}x\to 0 e portanto \operatorname{sen}^{2}x\to 0.
  • Assim x^{2}-\operatorname{sen}^{2}x\to 0 e x^{2}\operatorname{sen}^{2}x\to 0.
    Logo temos uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0}, e podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital uma vez, derivamos numerador e denominador:
Derivada do numerador N(x)=x^{2}-\operatorname{sen}^{2}x:
N'(x)=2x-2\operatorname{sen}x\cos x=2\bigl(x-\operatorname{sen}x\cos x\bigr).
Derivada do denominador D(x)=x^{2}\operatorname{sen}^{2}x (produto):
D'(x)=2x\operatorname{sen}^{2}x+2x^{2}\operatorname{sen}x\cos x=2x\bigl(\operatorname{sen}^{2}x+x\operatorname{sen}x\cos x\bigr).
Portanto, após a primeira aplicação,
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}-\operatorname{sen}^{2}x}{x^{2}\operatorname{sen}^{2}x} =\lim_{x\to 0}\frac{x-\operatorname{sen}x\cos x}{x\bigl(\operatorname{sen}^{2}x+x\operatorname{sen}x\cos x\bigr)}.
Ainda temos indeterminação 0/0 porque ao ir a 0 numerador e denominador vão a 0. Então aplicamos L’Hôpital de novo.

Passo 5

Derivamos de novo numerador e denominador.
Numerador n(x)=x-\operatorname{sen}x\cos x. Derivada:
n'(x)=1-\bigl(\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x\bigr)=1-\cos 2x,
pois \dfrac{d}{dx}(\operatorname{sen}x\cos x)=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x=\cos 2x.
Denominador d(x)=x\bigl(\operatorname{sen}^{2}x+x\operatorname{sen}x\cos x\bigr).
Usamos a regra do produto: d'(x)=1\cdot(\operatorname{sen}^{2}x+x\operatorname{sen}x\cos x)+x\cdot(\text{derivada interna}).
A derivada interna é
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}^{2}x+x\operatorname{sen}x\cos x\bigr) =2\operatorname{sen}x\cos x+\operatorname{sen}x\cos x+x\cos 2x,
ou seja
=3\operatorname{sen}x\cos x+x\cos 2x.
Portanto
d'(x)=\operatorname{sen}^{2}x+x\operatorname{sen}x\cos x+x\bigl(3\operatorname{sen}x\cos x+x\cos 2x\bigr) =\operatorname{sen}^{2}x+4x\operatorname{sen}x\cos x+x^{2}\cos 2x.
Assim, após a segunda aplicação de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{x-\operatorname{sen}x\cos x}{x\bigl(\operatorname{sen}^{2}x+x\operatorname{sen}x\cos x\bigr)} =\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{\operatorname{sen}^{2}x+4x\operatorname{sen}x\cos x+x^{2}\cos 2x}.

Passo 6

Agora simplificamos a expressão usando uma identidade trigonométrica útil:
1-\cos 2x=2\operatorname{sen}^{2}x.
Substituindo:
\frac{1-\cos 2x}{\operatorname{sen}^{2}x+4x\operatorname{sen}x\cos x+x^{2}\cos 2x} =\frac{2\operatorname{sen}^{2}x}{\operatorname{sen}^{2}x+4x\operatorname{sen}x\cos x+x^{2}\cos 2x}.
Dividindo numerador e denominador por \operatorname{sen}^{2}x (válido para x\neq 0) obtemos
\frac{2}{1+4\cdot\frac{x\cos x}{\operatorname{sen}x}+\;x^{2}\cdot\frac{\cos 2x}{\operatorname{sen}^{2}x}}.
Agora usamos limites clássicos quando x\to 0:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to 0}\cos x=1,\qquad \lim_{x\to 0}\cos 2x=1.
Então
\lim_{x\to 0}\frac{x\cos x}{\operatorname{sen}x} =\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen}x}\cdot\cos x =1\cdot 1=1,
e
\lim_{x\to 0}x^{2}\cdot\frac{\cos 2x}{\operatorname{sen}^{2}x} =\lim_{x\to 0}\left(\frac{x}{\operatorname{sen}x}\right)^{2}\cos 2x =1^{2}\cdot 1=1.
Portanto o denominador da fração acima tende a 1+4\cdot 1+1=6. Logo o limite vale
\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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