Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da expressão
Informações relevantes dadas:
- A expressão é a diferença entre uma fração racional
e a função trigonométrica . - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Vamos simplificar a parte racional para entender seu comportamento:
Isto é uma identidade algébrica simples: dividir cada termo do numerador por
.
Passo 3
Analisar o comportamento (limites parciais) das duas parcelas quando
:
- Para
: como tende a quando (porque ), a expressão fica muito negativa. Em palavras: essa parcela diverge negativamente, pois subtrai-se um número que cresce sem limite. - Para
: a função é contínua em e . Além disso, para pequenos vale a aproximação (pequena-angulo)
Aplicando com
temos
quando
. Ou seja, essa parcela tende a zero e é muito menor (em ordem) que
perto de zero.
Passo 4
Para ver com clareza a ordem de grandeza e justificar rigorosamente a divergência, escrevemos a diferença como uma única fração (colocando denominador comum
):
Agora analisamos o numerador quando
:
porque
e
também tende a
(produto de
por algo que tende a
). Portanto o numerador tende a
, um número finito e negativo, enquanto o denominador
.
Passo 5
Argumento final sem usar L’Hôpital: se o numerador tende a um número negativo finito (aqui
) e o denominador tende a
(pois
para
), a fração tende a menos infinito (diverge negativamente). Observação sobre L’Hôpital: a regra de L’Hôpital só é aplicável em formas indeterminadas do tipo
ou
. Aqui não temos
nem
— o numerador tende a
(não a
ou
) — logo L’Hôpital não é aplicável nem necessário.