Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x^{2}-4}{x^{2}}-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{4}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x \rightarrow 0 da expressão
\frac{x^{2}-4}{x^{2}}-\tan\!\left(\frac{\pi x}{4}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é a diferença entre uma fração racional \dfrac{x^{2}-4}{x^{2}} e a função trigonométrica \tan\!\left(\dfrac{\pi x}{4}\right).
  • O ponto de interesse é x\to 0.

Passo 2

Vamos simplificar a parte racional para entender seu comportamento:
\frac{x^{2}-4}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{4}{x^{2}}=1-\frac{4}{x^{2}}.
Isto é uma identidade algébrica simples: dividir cada termo do numerador por x^{2}.

Passo 3

Analisar o comportamento (limites parciais) das duas parcelas quando x\to 0:
  • Para \displaystyle 1-\frac{4}{x^{2}}: como \displaystyle \frac{4}{x^{2}} tende a +\infty quando x\to 0 (porque x^{2}\to 0^{+}), a expressão 1-\dfrac{4}{x^{2}} fica muito negativa. Em palavras: essa parcela diverge negativamente, pois subtrai-se um número que cresce sem limite.
  • Para \displaystyle \tan\!\left(\dfrac{\pi x}{4}\right): a função \tan y é contínua em y=0 e \tan 0=0. Além disso, para pequenos y vale a aproximação (pequena-angulo)
\tan y = y + o(y).
Aplicando com y=\dfrac{\pi x}{4} temos \tan\!\left(\dfrac{\pi x}{4}\right)\to 0 quando x\to 0. Ou seja, essa parcela tende a zero e é muito menor (em ordem) que \dfrac{4}{x^{2}} perto de zero.

Passo 4

Para ver com clareza a ordem de grandeza e justificar rigorosamente a divergência, escrevemos a diferença como uma única fração (colocando denominador comum x^{2}):
\frac{x^{2}-4}{x^{2}}-\tan\!\left(\frac{\pi x}{4}\right) = \frac{x^{2}-4 - x^{2}\tan\!\left(\dfrac{\pi x}{4}\right)}{x^{2}}.
Agora analisamos o numerador quando x\to 0:
x^{2}-4 - x^{2}\tan\!\left(\frac{\pi x}{4}\right)\longrightarrow -4,
porque x^{2}\to 0 e x^{2}\tan\!\left(\dfrac{\pi x}{4}\right) também tende a 0 (produto de x^{2} por algo que tende a 0). Portanto o numerador tende a -4, um número finito e negativo, enquanto o denominador x^{2}\to 0^{+}.

Passo 5

Argumento final sem usar L’Hôpital: se o numerador tende a um número negativo finito (aqui -4) e o denominador tende a 0^{+} (pois x^{2}>0 para x\neq 0), a fração tende a menos infinito (diverge negativamente). Observação sobre L’Hôpital: a regra de L’Hôpital só é aplicável em formas indeterminadas do tipo 0/0 ou \infty/\infty. Aqui não temos 0/0 nem \infty/\infty — o numerador tende a -4 (não a 0 ou \pm\infty) — logo L’Hôpital não é aplicável nem necessário.

Resposta

-\infty

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