Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}\right)^{\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}\right)^{\sin x}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função considerada é f(x)=\left(\dfrac{1}{x}\right)^{\sin x}.
  • Quando x\to 0^+ temos \dfrac{1}{x}\to +\infty e \sin x\to 0, ou seja a forma é do tipo \infty^0 (indeterminada).
  • Para x<0 a base \dfrac{1}{x} é negativa e, para expoentes reais não inteiros, \left(\dfrac{1}{x}\right)^{\sin x} não é uma função real bem definida. Portanto é necessário considerar o limite pelo lado direito, isto é x\to 0^+. Vou trabalhar explicitamente com x\to 0^+.

Passo 2

Ideia de resolução (sem ainda calcular): quando aparece uma potência com base e expoente que dependem de x e a forma é indeterminada do tipo \infty^0, é muito útil tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto. Assim definimos
y=\left(\frac{1}{x}\right)^{\sin x}
e tomamos o logaritmo:
\ln y=\sin x\cdot \ln\!\left(\frac{1}{x}\right).
Vou calcular o limite de \ln y quando x\to 0^+; depois recupero o limite de y exponenciando.

Passo 3

Simplifico a expressão do logaritmo:
\ln\!\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln x,
portanto
\ln y = -\,\sin x\;\ln x.
O problema agora é calcular
\lim_{x\to 0^+} -\,\sin x\;\ln x.
Note que \sin x\to 0 e \ln x\to -\infty quando x\to 0^+, então temos a forma indeterminada 0\cdot(-\infty). Para aplicar a regra de L’Hôpital é conveniente transformar o produto em uma razão. Reescrevo:
-\,\sin x\;\ln x = -\,\frac{\ln x}{1/\sin x}.
Agora examine os limites das partes quando x\to 0^+:
  • \ln x \to -\infty,
  • 1/\sin x \to +\infty.
    Logo a razão \dfrac{\ln x}{1/\sin x} tem forma \dfrac{-\infty}{+\infty}, o que permite o uso da regra de L’Hôpital (condições de diferenciabilidade valem em (0,\varepsilon)).

Passo 4

Aplico a regra de L’Hôpital à razão \dfrac{\ln x}{1/\sin x}. Primeiro encontro as derivadas:
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{\sin x}\right) = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{1/\sin x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\tfrac{1}{x}}{-\tfrac{\cos x}{\sin^2 x}} = \lim_{x\to 0^+}\left(-\frac{\sin^2 x}{x\cos x}\right).

Passo 5

Calculo o limite
\lim_{x\to 0^+}\left(-\frac{\sin^2 x}{x\cos x}\right).
Decomponho para usar limites conhecidos:
-\frac{\sin^2 x}{x\cos x} = -\left(\frac{\sin x}{x}\right)\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right).
Sabemos que \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 e \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{\cos x}=0 (pois \sin x\to 0 e \cos x\to 1). Portanto o produto tende a -1\cdot 0 = 0. Assim
\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{1/\sin x} = 0.

Passo 6

Voltando a \ln y, lembrando que \ln y = -\dfrac{\ln x}{1/\sin x}, do passo anterior obtemos
\lim_{x\to 0^+}\ln y = -\,\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{1/\sin x} = -0 = 0.
Como \ln y \to 0, temos y \to e^0 = 1. Então
\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{1}{x}\right)^{\sin x}=1.

Passo 7

Observação final e interpretação prática: a resposta é 1. É importante notar que a expressão original não é real para x<0 (base negativa elevada a expoente real), por isso o limite real foi tomado por x\to 0^+. Se surgirem formas do tipo \infty^0, anota na hora: “faço logaritmo, transformo em produto, trato a indeterminação com L’Hôpital se preciso” — esse é um caminho padrão que funciona bem na prova.

Resposta

1

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