Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função considerada é
. - Quando
temos e , ou seja a forma é do tipo (indeterminada). - Para
a base é negativa e, para expoentes reais não inteiros, não é uma função real bem definida. Portanto é necessário considerar o limite pelo lado direito, isto é . Vou trabalhar explicitamente com .
Passo 2
Ideia de resolução (sem ainda calcular): quando aparece uma potência com base e expoente que dependem de
e a forma é indeterminada do tipo
, é muito útil tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto. Assim definimos
e tomamos o logaritmo:
Vou calcular o limite de
quando
; depois recupero o limite de
exponenciando.
Passo 3
Simplifico a expressão do logaritmo:
portanto
O problema agora é calcular
Note que
e
quando
, então temos a forma indeterminada
. Para aplicar a regra de L’Hôpital é conveniente transformar o produto em uma razão. Reescrevo:
Agora examine os limites das partes quando
:
-
, -
.
Logo a razãotem forma , o que permite o uso da regra de L’Hôpital (condições de diferenciabilidade valem em ).
Passo 4
Aplico a regra de L’Hôpital à razão
. Primeiro encontro as derivadas:
Pela regra de L’Hôpital,
Passo 5
Calculo o limite
Decomponho para usar limites conhecidos:
Sabemos que
e
(pois
e
). Portanto o produto tende a
. Assim
Passo 6
Voltando a
, lembrando que
, do passo anterior obtemos
Como
, temos
. Então
Passo 7
Observação final e interpretação prática: a resposta é
. É importante notar que a expressão original não é real para
(base negativa elevada a expoente real), por isso o limite real foi tomado por
. Se surgirem formas do tipo
, anota na hora: “faço logaritmo, transformo em produto, trato a indeterminação com L’Hôpital se preciso” — esse é um caminho padrão que funciona bem na prova.