Calcule os limites aplicando a regra de L’Hôspital
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - O ponto onde o limite é pedido é
. - Observação importante (apenas identificando a situação, sem resolver ainda): ao substituir
temos e , então a forma é indeterminada do tipo .
Passo 2
Vamos usar a regra de L’Hôspital. Explico a regra de forma prática e sem jargões: se ao calcular
você obtém uma forma indeterminada
ou
, e se
e
são diferenciáveis num intervalo em torno de
(exceto talvez em
), então podemos calcular o limite das derivadas:
desde que o limite do lado direito exista (ou seja
ou um número real). Às vezes é necessário aplicar L’Hôspital várias vezes se a razão das derivadas ainda for indeterminada. Não se esqueça de verificar a forma indeterminada a cada aplicação.
Relembrando derivadas básicas que usaremos:
-
. -
. -
(regra do poder).
Passo 3
Aplicamos L’Hôspital pela primeira vez. Definimos
Derivando:
Então, pela regra de L’Hôspital,
Antes de avançar, verificamos a forma desta nova razão quando
:
e
, portanto ainda temos
. Precisamos aplicar L’Hôspital novamente.
Passo 4
Aplicamos L’Hôspital pela segunda vez. Derivamos numerador e denominador de
:
Portanto, pela regra,
Verificamos a forma:
e
, ainda
. Aplicamos L’Hôspital mais uma vez.
Passo 5
Aplicamos L’Hôspital pela terceira vez. Derivando novamente o numerador e o denominador de
:
Agora a razão das derivadas é
Como o denominador é constante não nulo (
), podemos avaliar o limite diretamente quando
:
Para conferir mentalmente (dica prática): usando a expansão de Taylor
, temos
, então o numerador
, dividindo por
dá
, mesma resposta — é uma boa checagem rápida na prova se você souber Taylor.