Calcule os limites aplicando a regra de L’Hôspital
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{10(\sin t-t)}{t^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{t\to 0}\frac{10(\sin t - t)}{t^{3}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função no numerador é 10(\sin t - t).
  • A função no denominador é t^{3}.
  • O ponto onde o limite é pedido é t\to 0.
  • Observação importante (apenas identificando a situação, sem resolver ainda): ao substituir t=0 temos \sin 0-0=0 e 0^{3}=0, então a forma é indeterminada do tipo 0/0.

Passo 2

Vamos usar a regra de L’Hôspital. Explico a regra de forma prática e sem jargões: se ao calcular \lim_{t\to a}\frac{f(t)}{g(t)} você obtém uma forma indeterminada 0/0 ou \infty/\infty, e se f e g são diferenciáveis num intervalo em torno de a (exceto talvez em a), então podemos calcular o limite das derivadas:
\lim_{t\to a}\frac{f(t)}{g(t)}=\lim_{t\to a}\frac{f'(t)}{g'(t)},
desde que o limite do lado direito exista (ou seja \infty ou um número real). Às vezes é necessário aplicar L’Hôspital várias vezes se a razão das derivadas ainda for indeterminada. Não se esqueça de verificar a forma indeterminada a cada aplicação.
Relembrando derivadas básicas que usaremos:
  • \displaystyle\frac{d}{dt}(\sin t)=\cos t.
  • \displaystyle\frac{d}{dt}(t)=1.
  • \displaystyle\frac{d}{dt}(t^{n})=n t^{n-1} (regra do poder).

Passo 3

Aplicamos L’Hôspital pela primeira vez. Definimos
f(t)=10(\sin t - t),\qquad g(t)=t^{3}.
Derivando:
f'(t)=10(\cos t - 1),
g'(t)=3t^{2}.
Então, pela regra de L’Hôspital,
\lim_{t\to 0}\frac{10(\sin t - t)}{t^{3}}=\lim_{t\to 0}\frac{10(\cos t - 1)}{3t^{2}}.
Antes de avançar, verificamos a forma desta nova razão quando t\to 0: \cos 0-1=0 e 3\cdot 0^{2}=0, portanto ainda temos 0/0. Precisamos aplicar L’Hôspital novamente.

Passo 4

Aplicamos L’Hôspital pela segunda vez. Derivamos numerador e denominador de \frac{10(\cos t - 1)}{3t^{2}}:
\frac{d}{dt}\bigl(10(\cos t -1)\bigr)=10(-\sin t)=-10\sin t,
\frac{d}{dt}(3t^{2})=6t.
Portanto, pela regra,
\lim_{t\to 0}\frac{10(\cos t - 1)}{3t^{2}}=\lim_{t\to 0}\frac{-10\sin t}{6t}.
Verificamos a forma: -10\sin 0=0 e 6\cdot 0=0, ainda 0/0. Aplicamos L’Hôspital mais uma vez.

Passo 5

Aplicamos L’Hôspital pela terceira vez. Derivando novamente o numerador e o denominador de \frac{-10\sin t}{6t}:
\frac{d}{dt}(-10\sin t)=-10\cos t,
\frac{d}{dt}(6t)=6.
Agora a razão das derivadas é
\frac{-10\cos t}{6}.
Como o denominador é constante não nulo ( 6), podemos avaliar o limite diretamente quando t\to 0:
\lim_{t\to 0}\frac{-10\cos t}{6}=\frac{-10\cos 0}{6}=\frac{-10\cdot 1}{6}=-\frac{10}{6}=-\frac{5}{3}.
Para conferir mentalmente (dica prática): usando a expansão de Taylor \sin t = t-\tfrac{t^{3}}{6}+o(t^{3}), temos \sin t - t = -\tfrac{t^{3}}{6}+o(t^{3}), então o numerador 10(\sin t-t)\approx -\tfrac{10}{6}t^{3}, dividindo por t^{3} -\tfrac{10}{6}=-\tfrac{5}{3}, mesma resposta — é uma boa checagem rápida na prova se você souber Taylor.

Resposta

-\dfrac{5}{3}

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